自动控制原理学习笔记（二）线性定常连续控制系统的数学模型

一、系统数学模型建立方式
二、系统数学模型常用的描述形式
- (一)、时域模型微分方程建立
- (二)、复域模型传递函数建立
- (三)、频域模型频率特性
三、系统分析与系统校正(熟悉一下概念)
- (一)、系统分析
- (二)、系统校正
- - 线性系统时域校正：
  - 频率法串联校正：
四、串联PID校正(经典PID)

控制系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。系统的数学模型是系统分析和设计的基础。
许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、化工系统等），其数学模型可能完全相同。数学模型揭示了系统的本质特征，是系统固有特性的一种抽象和概括。利用数学模型，就可以了解控制系统的特点。

一、系统数学模型建立方式

1、解析法(理论建模)
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
2、实验法(系统辨识)
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。

二、系统数学模型常用的描述形式

1. 时域模型：线性常微分方程、差分方程、状态方程
2. 复域模型：传递函数、结构图表示
3. 频域模型：频率特性

(一)、时域模型微分方程建立

微分方程描述的数学模型，若给定外作用及初始条件，求解微分返程就可以得到系统输出相应的解析解，其中包含了系统运动的全部时间信息。
微分方程关注输入与输出之间的关系。这种方法直观、准确，但是如果系统结构改变或者某个输入参数变化时，需要重新列写微分方程。

（1）根据具体情况确定系统或元部件的输入输出变量。
（2）根据输入输出遵循的规律，列写微分方程
（3）消除中间变量，得到仅含有系统的输入量和输出量的微分方程
（4）将微分方程整理成标准形式，即将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的放在方程的左边，各导数项按降幂排序，各项系数化成有物理意义的形式。

(二)、复域模型传递函数建立

传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变化与输入量的拉普拉斯变化之比。零初始条件下定义的，其有两个含义：①输入作用在t=0之后才作用于系统，因此t≤0时系统输入量及其各阶导数为0。②输入作用于系统之前，系统是相对静止的，就是系统的输出量及其各阶导数在t≤0时也为0。
传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系。

传递函数的几个性质：
（1）传递函数是复变量S的有理真分式函数，因此具有复变函数的所有性质。
因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，使得传递函数的分母阶次n总是大于或者等于分子阶次m，即n≥m。(系统有惯性环节需要计算进去，)
（2）传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界作用无关 （与输入或者初始条件无关）。
（3）传递函数是描述系统动态特征的数学表达式，与微分方程一一对应，当确定了系统的时域数学模型后—微分方程后，复域内的传递函数就可以唯一确定了
（4）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。（单位脉冲的拉普拉斯变化是1）
（5）一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，适合于单输入单输出系统的描述，对于多输入多输出将采用传递函数阵。

(三)、频域模型频率特性

频率特性是线性定常系统在正弦信号下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系，是传递函数的一种特殊形式。

三、系统分析与系统校正(熟悉一下概念)

(一)、系统分析

主要包括：动态性能、稳定性判断、稳态误差；
对应的方法：零点极点法、根轨迹图、劳斯判据、Nyquist图、Bode图等等；

(二)、系统校正

从系统分析可知，系统不同的性能指标对系统参数的要求往往是矛盾的，所以调节系统参数只能在有限范围内改善系统的部分性能。如果这样还是不能满足系统性能的要求，就需要采用适当的方式在系统中加入一些参数和结构可调整的装置，比如微分、积分电路组件或速度传感器等（称为校正装置）用以改变系统结构，进一步提高系统性能，这个过程就是系统校正。

线性系统时域校正：

反馈校正
复合校正

频率法串联校正：

超前校正
滞后校正
滞后-超前校正
串联PID校正(PD,PI,PID可以视为超前、滞后、滞后-超前的特例)

四、串联PID校正(经典PID)

串联PID校正通常也称为PID(比例+积分+微分)控制，它利用系统误差、误差的微分和积分信号构成控制规律，对被控对象进行调节，实现方便、成本低、效果好、使用范围广。还可以采用不同的组合实现PD,PI,PID不同的校正方式。PD,PI,PID可以视为超前、滞后、滞后-超前的特例，所以PID控制器的设计完全可以利用频率校正的方法来进行。

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