自动控制原理学习笔记（四）

第四章控制系统的稳定性及稳态误差

文章目录

第四章控制系统的稳定性及稳态误差
- 4.1 基于传递函数的稳定性分析
- - 4.1.1 连续系统稳定性及劳斯判据（书3.8~3.9）
  - - 线性定常系统稳定的充要条件
    - 劳斯判据
    - 劳斯表
    - 特殊题型
  - 4.1.2 离散系统稳定性定义及劳斯判据（书6.7）
  - s平面到z平面的映射关系
  - 线性离散系统稳定的充要条件
  - Routh稳定判断
  - - w变换
- 4.2 控制系统的稳态误差分析
- 稳态误差分析
- - 误差与稳态误差
  - - 误差（期望输出与实际输出之差）
    - 稳态误差
  - 终值定理求稳态误差
  - - 型别(无差度)
    - 影响稳态误差的因素
  - 静态误差系数法求给定输入下的稳态误差
  - - 阶跃输入
    - 斜坡输入
    - 加速度输入
    - 各输入汇总
  - 扰动作用下的稳态误差(终值定理)
  - 动态误差系数
  - 线性离散系统稳态误差
  - - 一般方法（终值定理）
    - 静态误差系数
    - 动态误差系数
- 4.3 基于根轨迹的稳定性分析
- - 概念
  - 绘制
- 4.4 基于状态空间表达式的稳定性分析
- - 1. Lyapunov意义下的稳定性基本概念
  - 2. Lyapunov第一法

4.1 基于传递函数的稳定性分析

4.1.1 连续系统稳定性及劳斯判据（书3.8~3.9）

稳定性的概念：单位冲激响应的稳态值为0 ⟺\iff⟺ lim⁡t→0k(t)=0\lim\limits_{t\to0}k(t)=0t→0limk(t)=0
Φ(s)=k∏i=1m(s−zi)∏j=1q(s−sj)∏k=1r(s2+2ζkωnks+ωnk2)k(t)=∑j=1qAjesjt+∑k=1rBke−ζkωnktcos(ωnk1−ζk2t)+Ckek−ζkωnktsin(ωnk1−ζk2t)\Phi(s)=\frac{k\prod\limits^{m}_{i=1}(s-z_i)}{\prod\limits_{j=1}^q(s-s_j)\prod\limits_{k=1}^{r}(s^2+2\zeta_k\omega_{nk}s+\omega_{nk}^2)}\\ k(t)=\sum_{j=1}^qA_je^{s_jt}+\sum_{k=1}^rB_ke^{-\zeta_k\omega_{nk}t}cos(\omega_{nk}\sqrt{1-\zeta_k^2}t)+C_ke_k^{-\zeta_k\omega_{nk}t}sin(\omega_{nk}\sqrt{1-\zeta_k^2}t) Φ(s)=j=1∏q(s−sj)k=1∏r(s2+2ζkωnks+ωnk2)ki=1∏m(s−zi)k(t)=j=1∑qAjesjt+k=1∑rBke−ζkωnktcos(ωnk1−ζk2t)+Ckek−ζkωnktsin(ωnk1−ζk2t)

系统的稳定性是系统的固有特性，仅有结构与参数有关
由系统闭环传递函数看，稳定与否仅取决于极点的分布，与零点分布无关。
零点影响系统的动态特性(影响上述的Aj,Bk,CkA_j,B_k,C_kAj,Bk,Ck)，但不影响稳定性。
闭环系统的稳定性与开环是否稳定无关。
**临界稳定：**闭环极点有一个或一个以上具有零实部（位于虚轴上），其余在左半平面。也属于不稳定。

线性定常系统稳定的充要条件

闭环系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环传递函数的极点全部严格在S平面的左半平面。

劳斯判据

闭环系统特征方程：
D(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0D(s)=a_ns_n+a_{n-1}s_{n-1}+\cdots+a_1s+a_0 D(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0

稳定的必要条件：系数aia_iai全部为正（或全部为负），不缺项

劳斯表

结论

系统稳定⟺\iff⟺劳斯表第一列系数全部为正

而且劳斯表第一列元素符号改变的次数=正实部根的个数

remark

劳斯表某行同乘或同除以一个正数，结果不变。
特殊情况①某一行的第一个元素为0

则用一个很小的正数ϵ\epsilonϵ代替0，继续计算劳斯表再令ϵ→0\epsilon \rightarrow 0ϵ→0，检验劳斯表第一列元素符号的变化。
特殊情况②出现全零行

用上一行构造辅助多项式，对辅助多项式求导，用得到的系数代替全零行，继续算完劳斯表。检验劳斯表第一列元素符号的变化。

辅助方程的根，也是系统特征方程的根。
出现全零行时，系统可能出现一对纯虚根；或一对实部相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。

特殊题型

第17个ppt例8（开环增益）
书P121例3.9.3
第17个ppt例9（确定使全部极点位于s=−ks=-ks=−k之左，参数所需满足的条件→\rightarrow→ 平移变换）

4.1.2 离散系统稳定性定义及劳斯判据（书6.7）

第18次ppt

s平面到z平面的映射关系

z=esTs=σ+jωz=eσTejωT⟹∣z∣=eσT,∠z=ωTs在复域左半平面⟺σ<0⟺∣z∣<1,z在单位圆内z=e^{sT}\\ s=\sigma+j\omega\\ z=e^{\sigma T}e^{j\omega T} \Longrightarrow |z|=e^{\sigma T},\angle z=\omega T\\ s在复域左半平面\iff\sigma<0\iff |z|<1,z在单位圆内 z=esTs=σ+jωz=eσTejωT⟹∣z∣=eσT,∠z=ωTs在复域左半平面⟺σ<0⟺∣z∣<1,z在单位圆内

线性离散系统稳定的充要条件

定理：
- 线性离散系统得全部特征根ziz_izi 都分布在z平面得单位圆之内。

Routh稳定判断

w变换

w=z+1z−1z=w+1w−1z=x+jyw=u+jvw=\frac{z+1}{z-1}\\ z=\frac{w+1}{w-1}\\ z=x+\mathrm jy\\ w=u+\mathrm jv w=z−1z+1z=w−1w+1z=x+jyw=u+jv

线性可逆变换
性质：
可推得u=x2+y2−1(x−1)2+y2可推得u=\dfrac{x^2+y^2-1}{(x-1)^2+y^2} 可推得u=(x−1)2+y2x2+y2−1
- ∣z∣=x2+y2=1|z|=\sqrt{x^2+y^2}=1∣z∣=x2+y2=1 时，u=0u=0u=0
- ∣z∣=x2+y2>1|z|=\sqrt{x^2+y^2}>1∣z∣=x2+y2>1 时，u>0u>0u>0
- ∣z∣=x2+y2<1|z|=\sqrt{x^2+y^2}<1∣z∣=x2+y2<1 时，u<0u<0u<0
特征多项式经w变换后，直接利用Routh 稳定判据判断系统稳定性

4.2 控制系统的稳态误差分析

稳态误差分析

前提：系统存在稳态
只考虑原理性误差，不考虑非线性因素引起的误差

误差与稳态误差

误差（期望输出与实际输出之差）

期望输出与实际输出之差
e(t)≜yr(t)−y(t)e(t)\triangleq y_r(t)-y(t) e(t)≜yr(t)−y(t)
负反馈系统设计中，一般希望反馈信号与输入信号一致：
希望反馈信号br(t)=r(t),Br(s)=R(s)误差E(s)=1H(s)[R(s)−B(s)]希望反馈信号b_r(t)=r(t),\ B_r(s)=R(s)\\ 误差E(s)=\dfrac{1}{H(s)}[R(s)-B(s)] 希望反馈信号br(t)=r(t), Br(s)=R(s)误差E(s)=H(s)1[R(s)−B(s)]

单位反馈下，稳态误差是***偏差（输入减去反馈）***信号的稳态值：ess=lim⁡t→∞ε(t)e_{ss}=\lim_{t\rightarrow\infty}\varepsilon(t)ess=limt→∞ε(t)

偏差ε(s)=R(s)−B(s)\varepsilon(s)=R(s)-B(s)ε(s)=R(s)−B(s)

稳态误差

静态误差：ess=lim⁡t→∞e(t)=e(∞)e_{ss}=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e(t)=e(\infty)ess=t→∞lime(t)=e(∞)
动态误差：误差中的稳态分量

终值定理求稳态误差

ess=lim⁡s→0sE(s)e_{ss}=\lim\limits_{s\rightarrow0}sE(s)ess=s→0limsE(s) ，拉普拉斯变换终值定理

ess=lim⁡s→0s[Φe(s)R(s)+Φf(s)F(s)]不考虑扰动产生的误差时，ess=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)e_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}s[\Phi_e(s)R(s)+\Phi_f(s)F(s)]\\ 不考虑扰动产生的误差时，e_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} ess=s→0lims[Φe(s)R(s)+Φf(s)F(s)]不考虑扰动产生的误差时，ess=s→0lim1+G(s)H(s)sR(s)

终值定理应用条件：极点都位于左半平面（系统稳定）
此法适用于任何情况

型别(无差度)

G(s)H(s)=Ksv∏i=1m1(τis+1)∏k=1m2(τk2s2+2ζkτks+1)∏j=1n1(Tjs+1)∏l=1n2(Tl2s2+2ζlτls+1)G(s)H(s)=\dfrac{K}{s^v}\dfrac{\prod\limits^{m_1}_{i=1}(\tau_is+1)\prod\limits_{k=1}^{m_2}(\tau_k^2s^2+2\zeta_k\tau_ks+1)}{\prod\limits^{n_1}_{j=1}(T_js+1)\prod\limits_{l=1}^{n_2}(T_l^2s^2+2\zeta_l\tau_ls+1)}\\ G(s)H(s)=svKj=1∏n1(Tjs+1)l=1∏n2(Tl2s2+2ζlτls+1)i=1∏m1(τis+1)k=1∏m2(τk2s2+2ζkτks+1)

开环传递函数（频率法形式）中，串联积分环节的个数
偏差闭环传递函数Φe(s)\varPhi_e(s)Φe(s) 中，分子中sss 因子的阶数
以上两种定义数学等价

影响稳态误差的因素

输入信号r(t)的形式
开环放大倍数K
开环传递函数中积分环节的个数（型别）

静态误差系数法求给定输入下的稳态误差

阶跃输入

静态位置误差系数

Kp=lim⁡s→0G(s)H(s)={Kv=0∞v≥1K_p=\lim_{s\rightarrow0}G(s)H(s)\\ =\begin{cases} K&&v=0\\ \infty&&v\ge1 \end{cases} Kp=s→0limG(s)H(s)={K∞v=0v≥1

稳态误差

ess={A1+Kp,v=00,v≥1e_{ss}=\begin{cases} \dfrac{A}{1+K_p}&,&v=0\\ 0&,&v\ge1\end{cases} ess=⎩⎨⎧1+KpA0,,v=0v≥1

斜坡输入

静态速度误差系数

Kv=lim⁡s→0sG(s)H(s)={0,v=0K,v=1∞,v≥2K_v=\lim_{s\rightarrow0}sG(s)H(s)\\ =\begin{cases} 0,v=0\\ K,v=1\\ \infty,v\ge2\end{cases} Kv=s→0limsG(s)H(s)=⎩⎪⎨⎪⎧0,v=0K,v=1∞,v≥2

稳态误差

ess=AKve_{ss}=\frac{A}{K_v} ess=KvA

加速度输入

静态加速度误差系数

Ka=lim⁡s→0s2G(s)H(s)={0,v≤1K,v=2∞,v≥3K_a=\lim_{s\rightarrow0}s^2G(s)H(s)\\ =\begin{cases} 0,v\le1\\ K,v=2\\ \infty,v\ge3 \end{cases} Ka=s→0lims2G(s)H(s)=⎩⎪⎨⎪⎧0,v≤1K,v=2∞,v≥3

稳态误差

ess=AKae_{ss}=\frac{A}{K_a} ess=KaA

各输入汇总

	A⋅1(t)A\cdot1(t)A⋅1(t)	AtAtAt	At2/2At^2/2At2/2
0	A1+Kp\dfrac{A}{1+K_p}1+KpA	∞\infty∞	∞\infty∞
I	0	AKv\dfrac{A}{K_v}KvA	∞\infty∞
II	0	0	AKa\dfrac{A}{K_a}KaA

Remark :
- 有前馈、扰动时，该法不适用！
- 始终可应用终值定理求取稳态误差

扰动作用下的稳态误差(终值定理)

essf=lim⁡t→∞ef(t)=lim⁡s→0sEf(s)=lim⁡s→0sΦef(s)F(s)Φef=E(s)F(s)e_{ssf}=\lim_{t\rightarrow\infty} e_f(t)=\lim_{s\rightarrow0} s E_f(s)=\lim_{s\rightarrow0}s\varPhi_{ef}(s)F(s)\\ \Phi_{ef}=\dfrac{E(s)}{F(s)} essf=t→∞limef(t)=s→0limsEf(s)=s→0limsΦef(s)F(s)Φef=F(s)E(s)

线性叠加原理：

ess=essr+essfe_{ss}=e_{ssr}+e_{ssf} ess=essr+essf

动态误差系数

输入-偏差传递函数在 Taylor 级数：

Φe(s)=E(s)R(s)=∑i=0∞1i!Φe(i)(s)si=∑i=0∞cisi\varPhi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}\varPhi^{(i)}_e(s) s^i =\sum_{i=0}^\infty c_i s^i Φe(s)=R(s)E(s)=i=0∑∞i!1Φe(i)(s)si=i=0∑∞cisi

其中，
ci=1i![didsiE(s)R(s)]s=0c_i=\dfrac{1}{i!}[\dfrac{d^i}{ds^i}\dfrac{E(s)}{R(s)}]_{s=0} ci=i!1[dsidiR(s)E(s)]s=0
则

E(s)=∑i=0∞cisiR(s)E(s)=\sum_{i=0}^\infty c_i s^i R(s) E(s)=i=0∑∞cisiR(s)
故
ess(t)=∑i=0∞cir(i)(t)e_{ss}(t)=\sum_{i=0}^\infty c_i r^{(i)}(t) ess(t)=i=0∑∞cir(i)(t)

处理：特征多项式作长除法
- ```
Tips: 分子分母升幂排列
```

线性离散系统稳态误差

一般方法（终值定理）

$GH(z)=\mathscr Z[G(s)H(s)]=\dfrac{1}{(z-1)^v}GH_0(z) $

步骤：

判断稳定性
求误差脉冲传函Φe(s)=E(z)R(z)=11+GH(z)\Phi_e(s)=\dfrac{E(z)}{R(z)}=\dfrac{1}{1+GH(z)}Φe(s)=R(z)E(z)=1+GH(z)1
终值定理：ess∗=lim⁡z→1(z−1)1+GH(z)R(z)e_{ss}^*=\lim\limits_{z\to1}\dfrac{(z-1)}{1+GH(z)}R(z)ess∗=z→1lim1+GH(z)(z−1)R(z)

静态误差系数

Remark :
- 以下结论适用于课本p321图示的典型系统，误(偏)差脉冲序列表达式与实际系统开关位置相关。

阶跃

Kp=lim⁡z→1GH(z)ess∗(∞)=A1+KpK_p=\lim_{z\rightarrow1}GH(z)\\ e^*_{ss}(\infty)=\frac{A}{1+K_p} Kp=z→1limGH(z)ess∗(∞)=1+KpA

斜坡

Kv=lim⁡z→1(z−1)GH(z)ess∗(∞)=ATKvK_v=\lim_{z\rightarrow1} (z-1)GH(z)\\ e^*_{ss}(\infty)=\frac{AT}{K_v} Kv=z→1lim(z−1)GH(z)ess∗(∞)=KvAT

加速度
Ka=lim⁡z→1(z−1)2GH(z)ess∗(∞)=AT2KaK_a=\lim_{z\rightarrow1} (z-1)^2 GH(z)\\ e^*_{ss}(\infty)=\frac{AT^2}{K_a} Ka=z→1lim(z−1)2GH(z)ess∗(∞)=KaAT2

汇总表格

	A⋅1(t)A\cdot1(t)A⋅1(t)	AtAtAt	At2/2At^2/2At2/2
0	A1+Kp\dfrac{A}{1+K_p}1+KpA	∞\infty∞	∞\infty∞
I	0	ATKv\dfrac{AT}{K_v}KvAT	∞\infty∞
II	0	0	AT2Ka\dfrac{AT^2}{K_a}KaAT2

动态误差系数

定义、形式同连续系统

Φe∗(s)=Φe∗(z)∣z=esT\varPhi_e^*(s)=\left. \varPhi_e^*(z)\right|_{z=e^{sT}} Φe∗(s)=Φe∗(z)∣z=esT

求取方法同连续系统

4.3 基于根轨迹的稳定性分析

概念

当系统某参数变化时，闭环系统特征方程的根在s平面上的变化轨迹
- 一般根轨迹：负反馈系统的开环增益从0变到+∞+\infty+∞时，闭环极点的变化轨迹
回顾：
- 开环增益KKK：
- 根轨迹增益K∗K^*K∗：
闭环零点=前向开环零点+反馈开环极点
特征方程：D(s)=G(s)H(s)+1=0D(s)=G(s)H(s)+1=0D(s)=G(s)H(s)+1=0 ，即

G(s)H(s)=k(s−z1)⋯(s−zm)(s−p1)⋯(s−pn)=−1G(s)H(s)=\frac{k(s-z_1)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)\cdots(s-p_n)}=-1 G(s)H(s)=(s−p1)⋯(s−pn)k(s−z1)⋯(s−zm)=−1

闭环极点满足：
∣G(s)H(s)∣=1∠G(s)H(s)=∑i=1m∠(s−zi)−∑j=1n∠(s−pj)=(2k+1)π,k∈N|G(s)H(s)|=1\\ \angle G(s)H(s) = \sum_{i=1}^m \angle(s-z_i) - \sum_{j=1}^n \angle(s-p_j) = (2k+1)\pi,k\in \mathbb N ∣G(s)H(s)∣=1∠G(s)H(s)=i=1∑m∠(s−zi)−j=1∑n∠(s−pj)=(2k+1)π,k∈N

满足幅角条件的点就是闭环极点

21，22，23次课件

绘制

起点与终点

起始(k=0)于开环极点，终止(k→+∞k\rightarrow+\inftyk→+∞)于开环零点。若n>mn>mn>m，则有n−mn-mn−m条趋于∞\infty∞。

分支数、对称性、连续性
- 分支数=闭环特征根数=max{开环零点数m，开环极点数n}
- 连续性：…
- 对称性：根轨迹关于实轴对称
实轴上的根轨迹

特征根的和与积

D(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a0∑i=1nsi=−an−1∏i=1n(−si)=a0D(s)=s^n + a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0\\ \sum_{i=1}^n s_i = -a_{n-1}\\ \prod_{i=1}^n (-s_i) = a_0 D(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a0i=1∑nsi=−an−1i=1∏n(−si)=a0

n−m≥2n-m \ge2n−m≥2 时，一部分根左移，另一部分根必定右移，且移动总量为零。

结论：若系统有两个开环极点，一个开环零点，复平面的根轨迹是以该零点为圆心的圆弧。：

4.4 基于状态空间表达式的稳定性分析

1. Lyapunov意义下的稳定性基本概念

对于线性系统，大范围渐近稳定⟺\iff⟺渐近稳定

对于非线性系统，大范围渐近稳定⟹\Longrightarrow⟹渐近稳定，但渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。

2. Lyapunov第一法

第一法：利用微分方程的解来判断系统稳定性（线性定常系统的特征值判据）
第二法：利用Lyapunov函数来判断系统稳定性