1 传递函数

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1.1 传递函数的定义

线性常定系统的传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

零初始条件是指当前系统的输入和输出都为0。分开来说：

1.2 传递函数的性质

传递函数适用于线性时不变（定常）系统，是系统以复变量s为自变量的描述形式，相对应的，微分方程则是系统以时间t作为自变量的时域描述。
实际系统（物理可实现系统）的传递函数是复变量S的有理真分式，这意味着分母的阶次要高于分子，分母中的最高阶次就是系统的阶次。
传递函数只与系统本身有关，与系统的输入无关。
传递函数在原则上不能梵音系统在非0初始条件下的运动规律。
传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。系统的单脉冲响应与输入卷积即可得到系统输出。

1.3 系统的特征方程

令系统传递函数的分母等于0，即得到了系统的特征方程。特征方程反应了系统的动态特性。
特征方程的根就是系统的特征根，特征方程的阶次就是系统的阶次。

1.4 系统传递函数的极点

系统传递函数的极点就是系统的特征根。

1.5 系统的增益

从微分方程的角度看，系统传递函数中所有复变量s均为0时，即分子和分母中仅保留常数项。此时分式的比值就是系统的放大系数或者说是系统的增益。

1.6 典型环节

我们通常可以将传递函数的分母分解成分式乘积的形式，一个实际的系统无论多么复杂，都是由典型环节构成的。

传递函数G(s)	含义
KKK	比例环节
1s\frac{1}{s}s1	积分环节
1Ts+1\frac{1}{Ts+1}Ts+11	惯性环节
sss	微分环节
1T2s2+2ζTs+1\frac{1}{T^2s^2+2\zeta Ts + 1}T2s2+2ζTs+11	二阶振荡环节
e−τse^{-\tau s}e−τs	滞后环节

2 控制系统的方框图

方框图中的一个框就代表系统的一部分，或一个原件，信号线一定是有向箭头。

加减运算。

引出点（分支点）用实心的圆点表示，只要引出点的信号线中间没有经过其他器件，信号的性质就不会发生变化。

2.1 方框图的等效变换

在控制系统中，任何复杂系统主要与响应环节的方框图经过串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。

判断是不是反馈要特别注意信号的方向。反馈连接包括正反馈和负反馈。
负反馈：C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)负反馈：\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}负反馈：R(s)C(s)=1+G(s)H(s)G(s)
正反馈：C(s)R(s)=G(s)1−G(s)H(s)正反馈：\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}正反馈：R(s)C(s)=1−G(s)H(s)G(s)
其中G(s)是前向通道的传递函数，H(s)是反馈通道的传递函数。
串联：前面方框的输出作为后面方框的输入。串联系统的等效传递函数可以表示成串联的每一个环节的传递函数的乘积。
并联：一个信号分别经过不同的支路，每一个支路的输出最终通过一个相加点会合起来。并联系统的等效传递函数等于等于所有并联环节传递函数的代数和（可能有加有减）。

2.2 相加点移动

相加点的前后移在传递函数上遵循分配律。相加点之间如果没有其他方框，可以随意交换位置。

2.3 分支点移动

相邻的引出点交换位置不改变信号的性质。
分支点和相加点尽量不要进行交换。

2.4 负号的移动

负号可以在信号线上越过方框移动但是不能越过比较点和引出点。

2.5 等效单位反馈

以负反馈为例，如何将已有的反馈转换成等效单位反馈（即反馈通道的系统传递函数H(s)=1）
C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)=[G(s)H(s)]1H(s)1+[G(s)H(s)]⋅1\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{[G(s)H(s)]\frac{1}{H(s)}}{1+[G(s)H(s)]·1 }R(s)C(s)=1+G(s)H(s)G(s)=1+[G(s)H(s)]⋅1[G(s)H(s)]H(s)1
我们将前向通道的传递函数由原来的H(s)变为H(s)G(s)，反馈通道变为单位反馈，最后在原系统的输出后加上一个传递函数为1H(s)\frac{1}{H(s)}H(s)1的方框就可以得到原系统的等效单位反馈。

2.6 总结

对于有交叉的方框图优先考虑分支点和相加点的移动，消除交叉和内环路。对于移动后应该在新的分支上添加什么环节，应该充分考虑移动前后信号通路的变化，比原来多经过了哪些环节或少跳过了哪些环节。
相加点和分支点的位置在移动前后尽量不要出现交叉。
尽量不要移动靠近输入端的相加点。

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1.6 典型环节

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2.1 方框图的等效变换

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