文章目录

自动控制原理
- 控制系统的数学模型
- - 非线性特性线性化
  - 传递函数
  - - 零极点表示
    - 时间常数表示法
    - 信号流图与梅逊公式
- 时域分析法
- - 典型输入函数
  - 性能指标
  - - 暂态性能指标
    - 稳态性能指标
  - 一阶系统的时域分析
  - 二阶系统的时域分析
  - 二阶系统的性能改善
  - - 误差比例微分控制
    - 输出量的速度反馈控制
  - 线性系统的稳定性分析
  - - 劳斯判据
    - - 劳斯表
    - 赫尔维茨判据
    - 线性系统的稳定误差
  - 根轨迹分析法
  - - 基本概念
    - - 根轨迹方程
    - 基本法则
  - 概述
  - 利用根轨迹分析系统
  - 典例
- 频率特性分析法
- - 系统开环频率特性的绘制
- 线性系统的校正
- - 对数幅频特性与系统性能的关系
  - - 频率法串联校正
    - 串联超前校正
- 离散控制系统
- 非线性系统
- - 典型非线性特性
  - 非线性系统分析

自动控制原理

控制系统的数学模型

非线性特性线性化

传递函数

G(s)=C(s)R(s)G(s) = {C(s) \over R(s)} G(s)=R(s)C(s)

零极点表示

G(s)=C(s)R(s)=Kg∏j=1n(s−zj)∏i=1n(s−pi)G(s) = {C(s) \over R(s)} = K_g{\prod\limits_{j=1}^n (s-z_j)\over \prod\limits_{i = 1}^n(s-p_i)} G(s)=R(s)C(s)=Kgi=1∏n(s−pi)j=1∏n(s−zj)

Kg=b0a0K_g={b_0\over a_0}Kg=a0b0 为根轨迹增益.

时间常数表示法

G(s)=C(s)R(s)=Kg∏j=1n(τjs+1)∏i=1n(τis+1)G(s) = {C(s) \over R(s)} = K_g{\prod\limits_{j=1}^n (\tau_js+1)\over \prod\limits_{i = 1}^n(\tau_is+1)} G(s)=R(s)C(s)=Kgi=1∏n(τis+1)j=1∏n(τjs+1)

信号流图与梅逊公式

G(s)=1Δ∑k=1nPkΔkG(s) = {1\over\Delta} \sum\limits_{k=1}^n{P_k\Delta_k} G(s)=Δ1k=1∑nPkΔk
Δ=1−∑La−∑LbLc−∑LdLeLf\Delta = 1-\sum L_a-\sum L_bL_c - \sum L_dL_eL_f Δ=1−∑La−∑LbLc−∑LdLeLf
我在算的时候，就是找出所有的回路，然后把回路上的所有的函数乘起来。

PkP_kPk表示前项通路，在找出前项通路后，把通路上的一串函数乘起来就是了
Δk\Delta_kΔk就是找到与PkP_kPk不接触的回路，然后用111减去不接触回路上串上的函数就好了。

时域分析法

典型输入函数

阶跃函数
L[1(t)]=1sL[1(t)] = {1\over s} L[1(t)]=s1
斜坡函数
L[t⋅1(t)]=1s2L[t\cdot1(t)] = {1\over s^2} L[t⋅1(t)]=s21
抛物线函数(加速度）
L[12t2⋅1(t)]=1s3L[{1\over 2}t^2\cdot1(t)] = {1\over s^3} L[21t2⋅1(t)]=s31
脉冲函数
正弦函数

性能指标

暂态性能指标

tdt_dtd：延时时间，调节时间
trt_rtr：上升时间
tpt_ptp：峰值时间
σ%\sigma \%σ%：最大超调量
σ%=cmax−c(∞)c(∞)×100%\sigma \% = {c_{max} - c(\infty)\over c(\infty) }\times100\% σ%=c(∞)cmax−c(∞)×100%

稳态性能指标

ess=lim⁡t→∞[r(t)−c(t)]e_{ss} = \lim\limits_{t\to\infty}[r(t) - c(t)] ess=t→∞lim[r(t)−c(t)]
期望值与实际值之差

一阶系统的时域分析

G(s)=C(s)R(s)=1Ts+1G(s) = {C(s)\over R(s)} = {1\over Ts+1} G(s)=R(s)C(s)=Ts+11
阶跃响应
r(t)=1(t),r(t) = 1(t), r(t)=1(t),

c(t)=css−ct(t)=1−e−tTc(t) = c_{ss} - c_{t}(t) = 1-e^{-t\over T} c(t)=css−ct(t)=1−eT−t
单位脉冲响应
r(t)=δ(t)r(t) = \delta(t) r(t)=δ(t)
c(t)=css−ct(t)=1Te−tT(t≥0)c(t) = c_{ss} - c_{t}(t) = {1\over T}e^{-t\over T} (t\ge0) c(t)=css−ct(t)=T1eT−t(t≥0)
单位斜坡响应
r(t)=t⋅1(t)r(t)=t\cdot 1(t) r(t)=t⋅1(t)
c(t)=(t−T)+T⋅exp⁡(−tT)c(t) = (t-T)+T\cdot\exp({-t\over T}) c(t)=(t−T)+T⋅exp(T−t)
暂态性能指标
ts=4T(Δ=2%)(一阶系统)tp=2.2T(第二种定义)\\t_s = 4T (\Delta = 2\%)(一阶系统) \\t_p = 2.2T(第二种定义) ts=4T(Δ=2%)(一阶系统)tp=2.2T(第二种定义)
稳态性能指标
ess=0e_ss = 0 ess=0

二阶系统的时域分析

Φ(s)=ωn2s2+2ξωns+ωn2\varPhi(s) = {\omega_n^2\over s^2 + 2\xi\omega_ns + \omega_n^2} Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2

ξ=0\xi=0ξ=0
C(s)=ωn2s(s2+ωn2)=1s−ss2+ωn2C(s) = {\omega_n^2\over s(s^2+\omega_n^2)} = {1\over s}-{s\over s^2+\omega_n^2}\\ C(s)=s(s2+ωn2)ωn2=s1−s2+ωn2s
c(t)=1−cos⁡ωntc(t) = 1-\cos \omega_nt c(t)=1−cosωnt
0<ξ<10<\xi<10<ξ<1
ξ=1\xi=1ξ=1
ξ>1\xi>1ξ>1
C(s)=ωn2s(s2+ωn2)=1s−s+2ξωn2s2+2ξωn2+ωn2C(s) = {\omega_n^2\over s(s^2+\omega_n^2)} = {1\over s}-{s+2\xi\omega_n^2 \over s^2+2\xi\omega_n^2+\omega_n^2}\\ C(s)=s(s2+ωn2)ωn2=s1−s2+2ξωn2+ωn2s+2ξωn2
系统超调量只与阻尼比有关，相应速度与自然振荡频率和阻尼比有关。
当系统结构增加微分控制时，由于零点的作用，可增大阻尼比而不改变自然振荡频率，相应地使超调量减小。

二阶系统的性能改善

误差比例微分控制

l=(1τ−ξdωn)2+(ωn1−ξd2)2l=\sqrt{({1\over\tau}-\xi_d \omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\xi_d^2})^2} l=(τ1−ξdωn)2+(ωn1−ξd2)2

输出量的速度反馈控制

没有增加闭环零点，同样可使得阻尼比增大，自然频率不变，使系统超调量减小，响应速度加快

线性系统的稳定性分析

劳斯判据

线性系统的稳定条件是劳斯表中第一列完全为正，并且第一列中各元素变号的次数代表特征方程正实部根的数目

第一列中出现为元素为零的情况，则用一个很小的正数ε\varepsilonε代替.

劳斯表

在计算劳斯表时，算的是上两行对角线元素的，其实就是算一个行列式的，系数为上一行元素的负的导数，其中行列式的第一列两个元素不变，第二列的两个元素一次后移一列，取两个元素放在第二列，计算行列式的值。

劳斯表的计算可以概括为:
前两行都是由系统方程的系数决定，之后的每一行都是可通过计算下面的这个行列式(1)(1)(1)得到。
第一列中出现为元素为零的情况，则用一个很小的正数ε\varepsilonε代替.


sns^nsn	a0a_0a0	a2a_2a2	a4a_4a4	⋯\cdots⋯
sn−1s^{n-1}sn−1	a1a_1a1	a3a_3a3	a5a_5a5	⋯\cdots⋯

ci=1b0∣a0ai+1b0bi+1∣(1)c_i={1\over b_0} \left| \begin{array}{cccc} a_0 &a_{i+1}\\ b_0 & b_{i+1} \end{array} \right| \tag{1} ci=b01∣∣∣∣a0b0ai+1bi+1∣∣∣∣(1)


sns^nsn	a0a_0a0	a2a_2a2	a4a_4a4	⋯\cdots⋯
sn−1s^{n-1}sn−1	a1a_1a1	a3a_3a3	a5a_5a5	⋯\cdots⋯
sn−2s^{n-2}sn−2	b1b_1b1	b2b_2b2	b3b_3b3	⋯\cdots⋯
sn−3s^{n-3}sn−3	c1c_1c1	c2c_2c2	c3c_3c3	⋯\cdots⋯
sn−3s^{n-3}sn−3	c1c_1c1	c2c_2c2	c3c_3c3	⋯\cdots⋯

b1=1a1∣a1a3a0a2∣b_1={1\over a_1} \left| \begin{array}{cccc} a_1 &a_3\\ a_0 & a_2 \end{array} \right| b1=a11∣∣∣∣a1a0a3a2∣∣∣∣
b2=1a1∣a1a5a0a4∣b_2={1\over a_1} \left| \begin{array}{cccc} a_1 &a_5\\ a_0 & a_4 \end{array} \right| b2=a11∣∣∣∣a1a0a5a4∣∣∣∣
c1=1b1∣b1a1a2a3∣c_1={1\over b_1} \left| \begin{array}{cccc} b_1 &a_1\\ a_2 & a_3 \end{array} \right| c1=b11∣∣∣∣b1a2a1a3∣∣∣∣

赫尔维茨判据

Dn=∣∣D_n=\left| \begin{array}{cccc} \end{array} \right| Dn=∣∣

线性系统的稳定误差

系统误差ε(t)=c0(t)−c(t)\varepsilon(t)=c_0(t)-c(t)ε(t)=c0(t)−c(t)
稳态误差
ess=lim⁡t→∞ε(t)e_{ss} =\lim\limits_{t\to \infty}\varepsilon(t)ess=t→∞limε(t)
根据终值定理得到
ess=lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)e_{ss}=\lim \limits_{t\to\infty} e(t)=\lim\limits_{s\to0}sE(s)ess=t→∞lime(t)=s→0limsE(s)
E(s)=11+G(s)H(s)R(s)=11+Gk(s)R(s)=Φe(s)R(s)E(s)={1\over1+G(s)H(s)}R(s)={1\over1+G_k(s)}R(s)=\varPhi_e(s)R(s)E(s)=1+G(s)H(s)1R(s)=1+Gk(s)1R(s)=Φe(s)R(s)
Gk(s)G_k(s)Gk(s)为开环传递函数
ess=lim⁡s→0sR(s)1+Gk(s)=lim⁡s→e_{ss}=\lim\limits_{s\to0} {sR(s)\over1+G_k(s)}=\lim\limits_{s\to}ess=s→0lim1+Gk(s)sR(s)=s→lim

根轨迹分析法

Φ(s)=Kgs2+s+Kg\varPhi(s) = {K_g\over s^2 +s+K_g} Φ(s)=s2+s+KgKg

基本概念

from control import *
import matplotlib.pyplot as pltKg = 1sys1 = tf([Kg],[1,2,Kg])
print("sys1:\n",sys1)
rlocus(sys1)
plt.show()

根轨迹方程

实质是寻找系统闭环传递特征方程的根
1+G(s)=01+G(s) = 0\\ 1+G(s)=0
开环传递函数：
Gk(s)=G(s)H(s)=Kg∏j=1m(s−zj)∏i=1n(s−pi)G_k(s) = G(s)H(s)={K_g \prod\limits_{j=1}^m(s-z_j)\over \prod\limits_{i=1}^n (s-p_i)} Gk(s)=G(s)H(s)=i=1∏n(s−pi)Kgj=1∏m(s−zj)
根轨迹方程：
Kg∏j=1m(s−zj)∏i=1n(s−pi)=−1{K_g \prod\limits_{j=1}^m(s-z_j)\over \prod\limits_{i=1}^n (s-p_i)}=-1 i=1∏n(s−pi)Kgj=1∏m(s−zj)=−1

幅值和相角
Kg∏j=1m∣s−zj∣∏i=1n∣s−pi∣=−1{K_g \prod\limits_{j=1}^m|s-z_j|\over \prod\limits_{i=1}^n |s-p_i|}=-1 i=1∏n∣s−pi∣Kgj=1∏m∣s−zj∣=−1
∑j=1m∠(s−zj)−∑i=1n∠(s−pi)=(2k+1)π\sum\limits_{j=1}^m\angle{(s-z_j)} -\sum\limits_{i=1}^n\angle(s-p_i) = (2k+1)\pi j=1∑m∠(s−zj)−i=1∑n∠(s−pi)=(2k+1)π

试探法

基本法则

连续性：Kg:0→∞K_g:0\to\inftyKg:0→∞
对称性：关于原点对称
分支数：max⁡(m,n)\max(m,n)max(m,n) mmm开环零点，nnn开环极点。
D(s)=∏i=1n(s−pi)+Kg∏j=1m(s−zj)=0D(s)=\prod\limits_{i=1}^n(s-p_i) + K_g\prod\limits_{j=1}^m(s-z_j) = 0 D(s)=i=1∏n(s−pi)+Kgj=1∏m(s−zj)=0
根轨迹是系统开环传递函数中的某个参数变化时，闭环特征根在复平面上变化的轨迹
起点与终点
渐近线
根轨迹的出射角和入射角
实轴上根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。
根轨迹的分离点：两条或聊条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开的点sds_dsd
起点和终点。当K=0K=0K=0时，有s=pj(j=1,2,⋯,n)s=p_j(j=1,2,\cdots,n)s=pj(j=1,2,⋯,n),当K=∞K=\inftyK=∞,s=zjs=z_js=zj

G(s)=Kgs(s+1)(s+2)=Kgs3+3s2+2s,Kg∈(0,+∞)G(s) = {K_g\over s(s+1)(s+2)} = {K_g \over s^3+3s^2+2s},K_g \in(0,+\infty) G(s)=s(s+1)(s+2)Kg=s3+3s2+2sKg,Kg∈(0,+∞)

from control import *
import matplotlib.pyplot as plt
num = [1]
den = [1,3,2,0]
print(num,den)
sys = tf(num,den)
print(sys)
rlocus(sys)
plt.savefig("root_locus.png")
plt.show()

m=0,n=3m=0,n=3m=0,n=3
D(s)=s(s+1)(s+2)=0D(s) =s(s+1)(s+2)=0D(s)=s(s+1)(s+2)=0得到p1=0,p2=−1,p3=−2p_1 =0,p_2=-1,p_3=-2p1=0,p2=−1,p3=−2

渐近线与实轴正方向夹角
φa=(2k+1)πn−m,k=0,1,⋯,n−m−1\varphi_a={(2k+1)\pi \over n-m},k=0,1,\cdots,n-m-1 φa=n−m(2k+1)π,k=0,1,⋯,n−m−1
φa=π3,π,5π3\varphi_a = {\pi\over 3},{\pi},{5\pi \over 3} φa=3π,π,35π
渐近线与实轴交点
σa=∑i=1npi−∑j=1mzin−m\sigma_a = {\sum\limits_{i=1}^np_i - \sum\limits_{j=1}^m z_i\over n-m} σa=n−mi=1∑npi−j=1∑mzi
σa=−0−1−23−0=−1\sigma_a = {-0-1-2\over3-0} = -1σa=3−0−0−1−2=−1

dD(s)ds=3s2+6s+2{dD(s)\over ds} = 3s^2+6s+2 dsdD(s)=3s2+6s+2
Sd=−6±62−4×3×22×3=−1±33S_d ={-6 \pm \sqrt{6^2-4\times3\times2}\over2\times3}=-1\pm{\sqrt{3} \over 3}Sd=2×3−6±62−4×3×2=−1±33
sd1=−1−13=−1.577(舍弃),sd2=−1+13=−0.432（是分离点）s_{d1} = -1-{1\over \sqrt3}=-1.577(舍弃),s_{d2} = -1 + {1\over \sqrt3}=-0.432（是分离点）sd1=−1−31=−1.577(舍弃),sd2=−1+31=−0.432（是分离点）

与虚轴的焦点

劳斯盘据法
闭环特征方程
D(s)=s3+3s2+2s+Kg=0D(s)=s^3+3s^2+2s+K_g=0D(s)=s3+3s2+2s+Kg=0


s3s^3s3	1	2
s2s^2s2	3	KgK_gKg
sss	6−Kg3{6-K_g\over3}36−Kg
s0s^0s0	KgK_gKg

令6−Kg3=0得,Kg=6令{6-K_g\over3} = 0\\ 得,K_g=6 令36−Kg=0得,Kg=6

列辅助方程
3s2−6=03s^2-6 = 03s2−6=0
解得s=±2s=\pm\sqrt{2}s=±2

概述

根轨迹法通常用来研究环路增益所带来的影响。
系统特征方程中的线性变化的任何参数中上。

利用根轨迹分析系统

主导极点：靠近徐州有无闭环零点的一些闭环极点对系统性能影响最大，成为主导极点。凡是实部比主导极点实部大5倍以上的其他闭环零、极点对胸痛的影响可以忽略。
调节时间：取决于主导极点的实部绝对值τ=ξωd\tau = \xi\omega_dτ=ξωd
实数极点、零点的影响：除了主导极点之外，系统还具有若干实数零、极点，则零点的存在减小系统阻尼，使得响应速度加快，超调量减小；极点的存在增大系统阻尼，使得响应速度减慢，超调减小。他们的作用随它们接近零点的程度而加强。

典例

close all;clear;clc
sys = tf([1,1],[1,-3,0]);
figure(1)
rlocus(sys)
axis equal
saveas(gcf,'rlocus.png')
sysc = feedback(sys,10);
figure(2)
t = 0:0.001:10;
y = step(sysc,t);
plot(t,y)
saveas(gcf,'step_response.png')
n = length(t);
[ymax,indx] = max(y);
yss = y(n);
%超调量
mp = (ymax - yss)/yss;
for k = 1:nif y(k) <= yss & y(k+1) >= ysstr = t(k+1);%上调时间breakend
end
%调整时间
for i = n:-1:1if y(i) >= 1.02 * yss | y(i) <= 0.98 * yss %稳态值的2%ts = t(i); %调节时间breakend
end
figure(3)
step(sysc)disp('峰值时间')
disp(t(indx))
disp('上升时间')
disp(tr)
disp('调节时间')
disp(ts)
disp('超调量')
disp(mp)

峰值时间0.4620上升时间0.1570调节时间2.2100超调量0.3969

2.判断点是否在根轨迹上，利用相角条件
根轨迹增益
3.绘制根轨迹

频率特性分析法

系统开环频率特性的绘制

确定幅相与实轴的交点
确定幅相与虚轴的交点

lg⁡Kων=0=>ωc=(K)1ν\lg{K\over \omega ^\nu} = 0\\=>\omega_c = (K)^{1\over \nu} lgωνK=0=>ωc=(K)ν1

穿越频率：奈奎斯特曲线与实轴交点。

相角裕度：滞后该角度后，系统仍然稳定。
截止频率是在对数坐标曲线下，与横轴交点的横坐标。

线性系统的校正

对数幅频特性与系统性能的关系

低频段：由开环系统积分环节的个数和开环放大倍数K值决定
中频段：系统的稳定性和暂态性能
高频段：反映系统的抗高频干扰能力，衰减越快，系统抗干扰能力越强。
校正环节所提供的最大相位选择为60°60 \degree60°。
G(s)=1a1+aT1+Tsa=1+sin⁡φm1−sin⁡φmaG(s) = {{1\over a}{1+aT\over1+Ts}}\\ \\a={1+\sin\varphi_m \over1-\sin\varphi_ma} G(s)=a11+Ts1+aTa=1−sinφma1+sinφm

超前网络提供的最大超前相位角为φm=γ′−γ+Δ\varphi_m=\gamma'-\gamma+\Deltaφm=γ′−γ+Δ,Δ\DeltaΔ为补偿误差。

频率法串联校正

串联超前校正

根据稳态误差要求，确定开环增益。
计算稳态裕度
确定校正后的截止频率ω′\omega'ω′和网络的α\alphaα值。
确定校正网络的传递函数。
绘制校正网络和校正后系统的对数频率特性曲线

离散控制系统

零阶保持器：实现采样信号向连续信号的转换。

Gh(s)=1−e−TssG_h(s) = {1-e^{-Ts}\over s} Gh(s)=s1−e−Ts
Gh(jω)=TsinωT2ωT2ejωT2G_h(j\omega) = T {sin{\omega T \over 2} \over {\omega T\over 2}} e^{j\omega T\over2} Gh(jω)=T2ωTsin2ωTe2jωT
可以看作是带宽为ωc\omega_cωc的低通滤波器。是一个相位滞后元件，滞后量随着T=2πωsT = {2\pi \over\omega_s}T=ωs2π增加而增加。

z变换的复移位定理

非线性系统

典型非线性特性

非线性系统分析

1.相平面法
2.描述函数法：非线性特性的一种近似线性表示，实质是线性系统频率法在非线性系统分析中的推广，不受系统阶次限制。

自振荡