正题

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4336

题目大意

每次获得第iii张牌的概率为pip_ipi(每次只能获得一张)，期望多少回合后获得所有牌。

解题思路

min−maxmin-maxmin−max容斥:max{S}=∑T⊆S(−1)∣T∣−1min{T}max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min\{T\}max{S}=T⊆S∑(−1)∣T∣−1min{T}
然后本题显然是要求max{E(S)}max\{E(S)\}max{E(S)}，然后容斥为
max{E(S)}=∑T⊆S(−1)∣T∣−1min{E(T)}max\{E(S)\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min\{E(T)\}max{E(S)}=T⊆S∑(−1)∣T∣−1min{E(T)}

我们发现对于一个集合的min{E(T)}min\{E(T)\}min{E(T)}，就是第一次拿到牌的期望值，也就是1∑x∈Tpx\frac{1}{\sum_{x\in T}p_x}∑x∈Tpx1
证明

我们有每次∑x∈Tpx\sum_{x\in T}p_x∑x∈Tpx的概率获得牌，为了方便陈述在后文用PPP代替。
假设我们抽kkk次能抽到，我们有PPP的概率取到，有1−P1-P1−P的概率多取一次
p+(1−p)(1+k)=kp+(1-p)(1+k)=kp+(1−p)(1+k)=k
p+1+k−p−pk=kp+1+k-p-pk=kp+1+k−p−pk=k
pk=1pk=1pk=1
k=1pk=\frac{1}{p}k=p1

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,z,MS;
double p[30],P,ans;
int main(){while(scanf("%d",&n)==1){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);MS=1<<n;ans=0;for(int i=1;i<MS;i++){P=z=0;for(int j=0;j<n;j++)if(i&(1<<j))P+=p[j],z++;ans+=((z&1)?1:-1)*1.0/P;}printf("%.9lf\n",ans);}
}

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