[集训队作业2018]小Z的礼物（min-max容斥，插头dp）

传送门

这种求 “取到所有物品的期望时间” 的题一般都用 min−maxmin-maxmin−max容斥 解决：
设t(i,j)t(i,j)t(i,j)为取到格子(i,j)(i,j)(i,j)的期望时间，集合S=∪c(i,j)=′∗′{t(i,j)}S=\cup_{c(i,j)='*'}\{t(i,j)\}S=∪c(i,j)=′∗′{t(i,j)}
那么根据min−maxmin-maxmin−max容斥有：max⁡(S)=∑T⊆S,T≠∅(−1)∣T∣−1min⁡(T)\max(S) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\min(T)max(S)=T⊆S,T=∅∑(−1)∣T∣−1min(T)
min(T)min(T)min(T)即为首次取到TTT中的格子的期望时间(记为ETE_TET)，考虑转成求概率：
设PTP_{T}PT为取到TTT中的格子的概率，由ET=1+(1−PT)ETE_{T}=1+(1-P_T)E_TET=1+(1−PT)ET解得ET=1PTE_T=\frac{1}{P_T}ET=PT1
设有覆盖到TTT中的格子的相邻对个数为xxx，因为总共的相邻对个数为m(n−1)+n(m−1)m(n-1)+n(m-1)m(n−1)+n(m−1)，所以PT=xm(n−1)+n(m−1)P_T=\frac{x}{m(n-1)+n(m-1)}PT=m(n−1)+n(m−1)x，得到ET=m(n−1)+n(m−1)xE_T=\frac{m(n-1)+n(m-1)}{x}ET=xm(n−1)+n(m−1)
发现子集TTT数量很多，但是xxx非常小，于是神奇地转换思路：
求出对于每个xxx，有多少个子集TTT满足恰有xxx个相邻对有覆盖到TTT中的点。
上插头dp，设dp[i][j][s][x]dp[i][j][s][x]dp[i][j][s][x]表示做到了(i,j)(i,j)(i,j),当前状态为sss,有xxx个相邻对。
我们dp的内容是系数和，如果选了一个格子，集合大小改变，要乘一个−1-1−1作为系数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
int ksm(int a,int b){int res=1;while(b){if(b&1) res=mul(res,a);b>>=1;a=mul(a,a);}return res;
}
int n,m;
char c[10][110];
int dp[2][1<<6][1250],ans;//N*M*2=1200
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%s",c[i]+1);int tot=n*(m-1)+m*(n-1);int cur=1,pre=0;dp[cur][0][0]=dec(0,1);int sta=(1<<n)-1;for(int i=1;i<=m;++i){for(int j=1;j<=n;++j){swap(cur,pre);memset(dp[cur],0,sizeof(dp[cur]));for(int s=0;s<=sta;s++){for(int k=0;k<=tot;k++){if(dp[pre][s][k]){int ss=s&(sta^(1<<(j-1)));Add(dp[cur][ss][k],dp[pre][s][k]);if(c[j][i]=='*'){ss|=(1<<j-1);int delta=(i!=1&&(s&(1<<j-1))==0)+(j!=1&&(s&(1<<j-2))==0)+(i<m)+(j<n);Add(dp[cur][ss][k+delta],dec(0,dp[pre][s][k]));}}}}}}for(int i=1;i<=tot;i++){ll inv=ksm(i,mod-2);for(int s=0;s<=sta;s++)Add(ans,mul(dp[cur][s][i],inv));}ans=mul(ans,tot);cout<<ans;return 0;
}

参考文章：
https://www.cnblogs.com/ZH-comld/p/11014880.html
https://www.cnblogs.com/huyufeifei/p/10498429.html

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