《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》学习笔记 第二章
第二章 向量
该章主要讲述向量的基本概念和性质，并且给出了性质的证明。
证明笔记这里就不给出了，毕竟向量的基本性质都是印在脑子里的东西了，要看证明的话可以翻小、初、高课本…
2.1向量性质
定理2.1：
- P + Q = Q + P
- (P + Q) + R = P + (Q + R)
- (ab)P = a(bP)
- a(P + Q) = aP + aQ
- (a + b)P = aP + bP
定理2.2：
- ||P|| >= 0 (||P|| 为 向量的模 即 向量长度)
- 当且仅当 P = (0, 0, …, 0), ||P|| = 0
- ||aP|| = |a| ||P||
- ||P + Q|| <= ||P|| + ||Q||
2.2 内积(点乘)
定理2.3：
- P⋅Q=∑PiQiP \cdot Q = \sum{P_iQ_i}P⋅Q=∑PiQi
定理2.4：
- P⋅QP \cdot QP⋅Q = ||P|| ||Q|| cosα
内积的矩阵表示：
P⋅Q=PT⋅Q=[P1,P2,...,Pn][Q1Q2...Qn]P \cdot Q = P^T \cdot Q = [P_1, P_2, ... , P_n] \begin{bmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ ... \\ Q_n \end{bmatrix}P⋅Q=PT⋅Q=[P1,P2,...,Pn]⎣⎢⎢⎡Q1Q2...Qn⎦⎥⎥⎤
定理2.5：
- P⋅Q=Q⋅PP \cdot Q = Q \cdot PP⋅Q=Q⋅P
- (aP)⋅Q=a(P⋅Q)(aP) \cdot Q = a(P \cdot Q)(aP)⋅Q=a(P⋅Q)
- P⋅(Q+R)=P⋅Q+P⋅RP \cdot (Q + R) = P \cdot Q + P \cdot RP⋅(Q+R)=P⋅Q+P⋅R
- P⋅P=∣∣P∣∣2P \cdot P = ||P||^2P⋅P=∣∣P∣∣2
- ∣P⋅Q∣≤∣∣P∣∣∣∣Q∣∣|P \cdot Q| \leq ||P|| ||Q||∣P⋅Q∣≤∣∣P∣∣∣∣Q∣∣
2.3 外积(叉乘)
定理2.6：
- P×Q=(PyQz−PzQy,PzQx−PxQz,PxQy−PyQx)P \times Q = (P_yQ_z - P_zQ_y, P_zQ_x - P_xQ_z, P_xQ_y - P_yQ_x)P×Q=(PyQz−PzQy,PzQx−PxQz,PxQy−PyQx)
定理2.7：
- (P×Q)⋅P=(P/timesQ)⋅Q=0(P \times Q) \cdot P = (P /times Q) \cdot Q = 0(P×Q)⋅P=(P/timesQ)⋅Q=0
定理2.8：
- ∣∣P×Q∣∣=∣∣P∣∣∣∣Q∣∣sinα||P \times Q|| = ||P|| ||Q|| sinα∣∣P×Q∣∣=∣∣P∣∣∣∣Q∣∣sinα
定理2.9：
- Q×P=−(P/timesQ)Q \times P = -(P /times Q)Q×P=−(P/timesQ)
- (aP)×Q=a(P×Q)(aP) \times Q = a(P \times Q)(aP)×Q=a(P×Q)
- P×(Q+R)=P×Q+P×RP \times (Q + R) = P \times Q + P \times RP×(Q+R)=P×Q+P×R
- P×P=0P \times P = 0P×P=0(零向量)
- (P×Q)⋅R=(R×P)⋅Q=(Q×R)⋅P(P \times Q) \cdot R = (R \times P) \cdot Q = (Q \times R) \cdot P(P×Q)⋅R=(R×P)⋅Q=(Q×R)⋅P
- P×(Q×P)=P×Q×P=P2Q−(P×Q)PP \times (Q \times P) = P \times Q \times P = P^2Q - (P \times Q)PP×(Q×P)=P×Q×P=P2Q−(P×Q)P
向量空间
定义2.10：
- 向量空间是一个集合 V，该集合的元素都是向量，定义了加法和标量乘法，则有以下性质成立：
- 集合 V 对加法运算封闭，即 集合V 中任意的向量 P 和 Q，它们的和 P+QP + QP+Q 也是集合V的向量。
- 集合V 对标量乘法运算封闭，即对于任意实数a 和 集合V中的任意向量P，它们的积 aPaPaP 也是集合V的向量。
- 集合V中存在零向量，在集合V中的任意向量 P，P+0=0+P+PP + 0 = 0 + P + PP+0=0+P+P 成立
- 对于集合V中的任意向量P，在集合V中存在向量Q，使 P+Q=0P + Q = 0P+Q=0 成立
- 集合V中的向量满足结合律，即对于集合V中的任意向量 P、Q 和 R，(P+Q)+R=P+(Q+R)(P + Q) + R = P + (Q + R)(P+Q)+R=P+(Q+R)成立
- 标量乘法满足结合律，即对于任意实数 a 和 b，以及集合V中的任意向量P，(ab)P = a(bP) 成立
- 标量与向量和的乘法满足分配律，即对于任意实数 a 和 b，以及集合V中任意向量 P 和 Q，a(P+Q)=aP+aQa(P + Q) = aP + aQa(P+Q)=aP+aQ成立
- 标量与向量的乘法满足分配律，即对于任意实数 a 和 b，以及集合V中的任意向量P，(a+b)P=aP+bP(a + b)P = aP + bP(a+b)P=aP+bP 成立
定义2.11：
- 对于含有 n个 向量的集合 {e1,e2,e3,...,en}\{e_1, e_2, e_3, ... , e_n\}{e1,e2,e3,...,en}，有该式 a1e1+a2e2+...+anen=0a_1e_1 + a_2e_2 + ... + a_ne_n = 0a1e1+a2e2+...+anen=0，如果不存在不全为0的数 a1,a2,...,ana_1, a_2, ... , a_na1,a2,...,an 使该式成立，则向量集合线性无关。反之，则集合线性相关。
一个 n维向量空间 可由 n个线性无关向量的集合生成，生成向量空间的向量集合称为 向量空间的基：
定义2.12：
- 向量空间VVV 的基 BBB 是 n个线性无关向量的集合，B={e1,e2,...,en}B = \{e_1, e_2, ... , e_n\}B={e1,e2,...,en}，对于向量空间VVV中的任意向量PPP，存在一组实数a1,a2,...,ana_1, a_2, ... , a_na1,a2,...,an， 使得该式 P=a1e1+a2e2+...+anenP = a_1e_1 + a_2e_2 + ... + a_ne_nP=a1e1+a2e2+...+anen 成立。
一个n维向量空间的每个基中有且仅有n个向量，如 三维坐标系的三个轴 x、y、z 对应的单位向量就是 3维向量空间的一个基
定义2.13:
- 在向量空间的基BBB 中，如果任意两个向量 eie_iei 和 eje_jej, i≠ji \neq ji=j，且 ei⋅ej=0e_i \cdot e_j = 0ei⋅ej=0，则基BBB称为向量空间的正交基
定理2.14：
- 给定任意两个向量 e1e_1e1 和 e2e_2e2，如果 e1⋅e2=0e_1 \cdot e_2 = 0e1⋅e2=0，则e1e_1e1 和 e2e_2e2 两个向量线性无关
对于向量空间的正交基，如果其中每个向量的长度均为1，则称为规范正交基。为了方便表示，引入 克罗内克符号：
δij={1如果i=j0如果i≠jδ_{ij} = \begin{cases} 1& \text{如果} i = j \\ 0& \text{如果} i \neq j \\ \end{cases} δij={10如果i=j如果i=j
定义2.15
- 在向量空间的基 B={e1,e2,...,en}B = \{e_1, e_2, ... , e_n\}B={e1,e2,...,en} 中，如果任意两个向量 eie_iei 和 eje_jej，ei⋅ej=δije_i \cdot e_j = δ_{ij}ei⋅ej=δij，则基BBB称为向量空间的规范正交基
如 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 就是三维向量空间的规范正交基
算法2.16：
- Gram-Schmidt 正交化算法。给的 n 个线性无关向量组成的集合BBB，B={e1,e2,...,en}B=\{e_1, e_2, ..., e_n\}B={e1,e2,...,en}，该算法可计算出向量集合B′={e1′,e2′,...,en′}B' = \{e'_1, e'_2, ... , e'_n\}B′={e1′,e2′,...,en′}，当 i≠ji \neq ji=j 时，ei′⋅ej′=0e'_i \cdot e'_j = 0ei′⋅ej′=0 算法步骤如下：
(a) 令 e1′=e1e'_1 = e_1e1′=e1
(b) 之后考虑 i=2i = 2i=2 以后的情况
© 从向量 eie_iei 中减去 eie_iei 在 向量e1′,e2′,...,ei−1′e'_1, e'_2, ... , e'_{i - 1}e1′,e2′,...,ei−1′ 上的投影，结果保存到 ei′e'_iei′ 中，即：
ei′=ei−∑k=1i−1ei⋅ek′ek′2ek′e'_i = e_i - \sum^{i-1}_{k=1}{\frac{e_i \cdot e'_k}{{e'_k}^2}e'_k} ei′=ei−k=1∑i−1ek′2ei⋅ek′ek′
(d) 如果 i<ni < ni<n，i++，转到步骤 ©
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