求勒让德n阶多项式、图像及求导 python实现

勒让德方程ddx[(1−x2)dy(x)dx]+l(l+1)y(x)=0勒让德方程\frac{d}{dx} [(1-x^{2}) \frac{dy(x)}{dx}] +l(l+1)y(x)=0勒让德方程dxd[(1−x2)dxdy(x)]+l(l+1)y(x)=0 勒让德多项式Pl(x)=12ll!dldxl(x2−1)l勒让德多项式P_{l}(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} 勒让德多项式Pl(x)=2ll!1dxldl(x2−1)l
性质
1.正交性：

∫−11Pm(x)Pn(x)dx={22n+1,m=n0,m!=n\int_{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx=\left\{ \begin{aligned} \frac{2}{2n+1},\ m=n \\ 0,\ \ \ m!=n \end{aligned} \right. ∫−11Pm(x)Pn(x)dx=⎩⎨⎧2n+12, m=n0, m!=n
2.递推关系
Pn+1(x)=2n+1n+1xPn(x)−nn+1Pn−1(x)n=(1,2,...)P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_{n}(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x) \ \ \ \ n=(1,2,...)Pn+1(x)=n+12n+1xPn(x)−n+1nPn−1(x) n=(1,2,...)

常用：
P0(x)=1P_{0}(x)=1P0(x)=1P1(x)=xP_{1}(x)=xP1(x)=xP2(x)=(3x2−1)/2P_{2}(x)=(3x^2-1)/2P2(x)=(3x2−1)/2P3(x)=(5x3−3x)/2P_{3}(x)=(5x^3-3x)/2P3(x)=(5x3−3x)/2

from sympy import *
x=symbols("x")
#legendre的n阶多项式
def legendre_polynomial(n):''':param n: legendre多项式项数:return: legendre的n项展开'''P = [1, x]for i in range(1,n):m=(2*i+1)/(i+1)*x*P[i]-i/(i+1)*P[i-1]P.append(m)return P[n]P_n=legendre_polynomial(3)
print(P_n)
#legendre的n阶多项式的m次导数
def Derivation(function,m):   #多阶求导""":param function : 待求导数的函数:param m: 求导阶数:return: legendre的n阶多项式的m次导数"""for i in range(m):  #逐次求导  ，共m次derivation=diff(function,x)function=derivationreturn functionder=Derivation(P_n,2)
print(der)

结果：

legendre的n阶多项式: 1.66666666666667*x*(1.5*x**2 - 0.5) - 0.666666666666667*x
legendre的n阶多项式的m次导数: 15.0*x

绘制勒让德多项式图像以及legendre的n阶多项式的m次导数的图像：

from sympy import *
import matplotlib.pyplot as pltx=symbols("x")
#legendre的n阶多项式
def legendre_polynomial(n):''':param n: legendre多项式项数:return: legendre的n项展开'''P = [1, x]for i in range(1,n):m=(2*i+1)/(i+1)*x*P[i]-i/(i+1)*P[i-1]P.append(m)return P[n]
P_n=legendre_polynomial(3)
x1=[]
y1=[]
for i in range(200):x1.append(-1+0.01*i)
for i in x1:y1.append(P_n.subs('x',i))plt.plot(x1,y1)
plt.show()
#legendre的n阶多项式的m次导数
def Derivation(function,m):   #多阶求导""":param function : 待求导数的函数:param m: 求导阶数:return: legendre的n阶多项式的m次导数"""for i in range(m):  #逐次求导  ，共m次f = diff(function, x, m)return fder=Derivation(P_n,2)y_value=[]
for i in x1:y_value.append(der.subs('x',i))plt.plot(x1,y_value)
plt.show()

结果：

                                 3阶legendre多项式图像

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