【Leetcode 795】Number of Subarrays with Bounded Maximum

难度：中等

题目描述

We are given an array A of positive integers, and two positive integers L and R (L <= R).

Return the number of (contiguous, non-empty) subarrays such that the value of the maximum array element in that subarray is at least L and at most R.

Example :
Input:
A = [2, 1, 4, 3]
L = 2
R = 3
Output: 3

Explanation: There are three subarrays that meet the requirements: [2], [2, 1], [3].

Note:
L, R and A[i] will be an integer in the range [0,109][0, 10^9][0,109].
The length of A will be in the range of [1,50000][1, 50000][1,50000].

简单说就是给定一个数组，和一个区间[L,R][L,R][L,R]，问：这个数组的子数组的最大值在这个给定区间的数组个数是多少。

需要注意子数组和子集的概念不同，子数组必须是连续的。

题解

解法一：暴力搜索

首先拿到题目，我们可以先从暴力搜索算法开始做起，然后逐步优化。

class Solution {public:int numSubarrayBoundedMax(vector<int>& A, int L, int R) {int res = 0;// 暴力搜索// 以A[i]开头的子数组for (int i = 0; i < A.size(); i++) {int curMax = INT_MIN;for (int j = i; j < A.size(); j++) {curMax = max(curMax, A[j]);// 不做优化的暴力搜索if (curMax <= R && curMax >= L) {res++;}}}return res;}
};

这是不做任何优化的暴力搜索解法，也即，循环计算以A[i]开头的子数组是否满足需求，并在循环过程中维护一个当前最大值curMax，看它是否在给定区间。

这个是过不了OJ的，因为实践复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)，我们可以稍稍做一些搜索剪枝，比如在外层循环，如果A[i] > R，那么本次循环就可以作废了，因为这里的子数组全是以A[i]开头的，用continue进入下一层循环。

在内层数组，再判断curMax是否大于R，如果超过则内层循环直接结束。为什么呢？以A[i]开头的子数组，然后在中间遇到了不满足的，后面就不用再继续循环下去了，因为这个不满足的数字是子数组中间的元素。

加上两个剪枝，可以OJ，但是效果不是很好。

class Solution {public:int numSubarrayBoundedMax(vector<int>& A, int L, int R) {int res = 0;// 暴力搜索// 以A[i]开头的子数组for (int i = 0; i < A.size(); i++) {int curMax = INT_MIN;// 外层搜索剪枝if (A[i] > R) {continue; // 跳过本轮循环}for (int j = i; j < A.size(); j++) {curMax = max(curMax, A[j]);if (curMax > R) break; // 内层搜索剪枝if (curMax >= L) {res++;}}}return res;}
};

解法二：等差数列法

class Solution {public:int count(vector<int>& A, int upper) {int res = 0, cur = 0;for (auto x : A) {cur = (x <= upper) ? cur + 1 : 0;res += cur;}return res;}int numSubarrayBoundedMax(vector<int>& A, int L, int R) {return count(A, R) - count(A, L-1);}
};

直接看这个算法的代码是会很懵的，除非手动跟踪一下看看。

总体思路是，设定一个函数，计算子数组最大元素在(−∞,upperBound](-\infty,upperBound](−∞,upperBound]内的子数组个数，看起来像不像是概率分布的定义~

我们假定这个上界大于等于原数组的最大值，我们来计算一下子数组的个数规律。

就拿[2,1,4,3][2,1,4,3][2,1,4,3]来举例子，假定上界是4，则区间是(−∞,4](-\infty,4](−∞,4]。

遍历到2时，满足条件的子数组有[2][2][2]，共1个；
遍历到1时，满足条件的子数组有[2],[1],[2,1][2],[1],[2,1][2],[1],[2,1]共3个；
遍历到4时，满足条件的子数组有[2],[1],[4],[2,1],[1,4],[2,1,4][2],[1],[4],[2,1],[1,4],[2,1,4][2],[1],[4],[2,1],[1,4],[2,1,4]共6个；

然后遍历到3时，满足条件的共有10个；满足条件的子数组的个数 = n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)，是个等差为1的等差数列的求和。

为什么要说这个呢，是因为，在遇到不符合的元素前，计算符合条件的子数组的数量就是这个方式；然后在遇到不符合的了呢，就需要中断这个累计过程（将cur重置为0），重新开始这个等差数列的累计过程。

还有一种写法如下：

class Solution {public:int numSubarrayBoundedMax(vector<int>& A, int L, int R) {int res = 0, left = -1, right = -1;for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {if (A[i] > R) left = i;if (A[i] >= L) right = i;res += right - left;}return res;}
};

本质上和上面的写法相似。

END.

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