PAGE

58 -

高中数学知识点

高中数学第一章-集合

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

集合

基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为；

②空集是任何集合的子集，记为；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果，同时，那么A = B.

如果.

[注]：①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×)

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(×)(例：S=N； A=，则CsA= {0})

③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS(CAB)= D ( 注 ：CAB = ).

3. ①{(x，y)|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.

②{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.

③{(x，y)|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.

[注]：①对方程组解的集合应是点集.

例： 解的集合{(2，1)}.

②点集与数集的交集是. (例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =)

4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.

5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.

例：①若应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

② .

解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.

,故是的既不是充分，又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

例：若.

集合运算：交、并、补.

主要性质和运算律

包含关系：

等价关系：

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法(零点分段法)从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；

④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

(自右向左正负相间)

则不等式的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.

二次函数

()的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，

(2)转化为整式不等式(组)

3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法：,与型的不等式的解法.

(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

(三)简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题