题目

给一棵第 iii 条边边权为 did_idi 的有根树，111 为根。对于每个点 xxx，对于满足如下条件的序列 {s1,⋯,sk}\{s_1,\cdots,s_k\}{s1,⋯,sk}：

si−1s_i - 1si−1 是 sis_isi 的祖先，且 si−1≠sis_{i - 1} \neq s_isi−1=si。
s1=xs_1 = xs1=x 中。

求 ∑i=2k(asi−1−dist(si−1,si))bsi\sum_{i = 2}^k (a_{s_{i - 1}} - \text{dist}(s_{i - 1}, s_i))b_{s_i}∑i=2k(asi−1−dist(si−1,si))bsi 的最大值。

1≤n≤106,0≤ai,bi,di≤1091 \leq n \leq 10^6, 0 \leq a_i, b_i, d_i \leq 10^91≤n≤106,0≤ai,bi,di≤109，从 111 出发到每个点的距离不超过 10910^9109，最终答案不超过 2×10172 \times 10^{17}2×1017。

分析

考虑朴素的 DP：dpu=max⁡v∈subtree of udpv+(au−dist(u,v))bvdp_u = \max_{v \in \text{subtree of }u}dp_v + (a_u - \text{dist}(u,v))b_vdpu=v∈subtree of umaxdpv+(au−dist(u,v))bv 把 dist\text{dist}dist 用深度表示可以得到 dpu=max⁡v∈subtree of u(dpv+aubv+depubv−depvbv)=max⁡v∈subtree of u((au+depu)bv+dpv−depvbv)\begin{aligned} dp_u =& \max_{v \in \text{subtree of }u} (dp_v + a_ub_v + \text{dep}_ub_v -\text{dep}_vb_v) \\ =& \max_{v \in \text{subtree of }u} ((a_u + \text{dep}_u)b_v + dp_v -\text{dep}_vb_v)\end{aligned}dpu==v∈subtree of umax(dpv+aubv+depubv−depvbv)v∈subtree of umax((au+depu)bv+dpv−depvbv) 设函数 fu(x)=bux+dpu−depubuf_u(x) = b_ux + dp_u -\text{dep}_ub_ufu(x)=bux+dpu−depubu，上式转化为 dpu=max⁡v∈subtree of ufv(au+depu)dp_u = \max_{v \in \text{subtree of }u} f_v(a_u + \text{dep}_u)dpu=v∈subtree of umaxfv(au+depu) 由于 fu(x)f_u(x)fu(x) 是一次函数，很容易想到用李超树维护。一开始想的是用 DFN 序转为区间查询，然后发现李超树不能可持久化（求的是最大值，没有可减性），后来发现只需要合并所有子树，再插入当前点对应的直线，就能得到当前点的李超树了，写动态开点李超树，合并两个树 u,vu, vu,v 方法类似于权值线段树：把 vvv 的每个直线插入进 uuu。时间复杂度感觉是 O(nlog⁡2n)O(n \log^2 n)O(nlog2n) 的，然而题解似乎说是 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn) 的，没看懂：

不管了反正加个按秩合并跑的飞快……

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>namespace IO { // 板子是 down 里面发的const int sz = 1 << 22;char a[sz + 5], b[sz + 5], *p1 = a, *p2 = a, *t = b, p[105];inline char gc() {return p1 == p2 ? (p2 = (p1 = a) + fread(a, 1, sz, stdin), p1 == p2 ? EOF : *p1++) : *p1++;}template <class T>T Read() {T x = 0;char c = gc();for (; c < '0' || c > '9'; c = gc());for (; c >= '0' && c <= '9'; c = gc()) x = x * 10 + (c - '0');return x;}inline void flush() { fwrite(b, 1, t - b, stdout), t = b; }inline void pc(char x) {*t++ = x;if (t - b == sz)flush();}template <class T>void Print(T x, char c = '\n') {if (x == 0)pc('0');int t = 0;for (; x; x /= 10) p[++t] = x % 10 + '0';for (; t; --t) pc(p[t]);pc(c);}struct F {~F() { flush(); }} f;
}using IO::Print;
using IO::Read;typedef long long LL;const int MAXN = 1000000;
const LL INF = 1ll << 58;int N, A[MAXN + 5], B[MAXN + 5];struct Edge {int v, w;Edge *nxt;
} E[2 * MAXN + 5], *Adj[MAXN + 5], *EdgeCnt = E;void AddEdge(const int &u, const int &v, const int &w) {(++EdgeCnt)->v = v, EdgeCnt->w = w, EdgeCnt->nxt = Adj[u], Adj[u] = EdgeCnt;
}int Dep[MAXN + 5];struct Line {int k;LL b;Line() {}Line(const int _k, const LL &_b) { k = _k, b = _b; }inline LL Cal(const int &x) const { return (LL)k * x + b; }
} L[MAXN + 5];struct LiChaoTree {int NodeCnt;struct Node {int lch, rch, siz;Line l;} T[MAXN * 30 + 5];void Insert(int &u, const int &lft, const int &rgt, Line cur) {if (!u) {T[u = ++NodeCnt].l = cur;T[u].siz = 1;return;}int mid = ((rgt - lft) >> 1) + lft;if (T[u].l.Cal(mid) < cur.Cal(mid))std::swap(T[u].l, cur);LL lhc = cur.Cal(lft), rhc = cur.Cal(rgt);LL lhu = T[u].l.Cal(lft), rhu = T[u].l.Cal(rgt);if (lhc <= lhu && rhc <= rhu)return;if (lhc > lhu)Insert(T[u].lch, lft, mid, cur);elseInsert(T[u].rch, mid + 1, rgt, cur);T[u].siz = T[T[u].lch].siz + T[T[u].rch].siz;}int Merge(int u, const int &v, const int &lft, const int &rgt) {if (!u || !v)return u ^ v;Insert(u, lft, rgt, T[v].l);int mid = ((rgt - lft) >> 1) + lft;T[u].lch = Merge(T[u].lch, T[v].lch, lft, mid);T[u].rch = Merge(T[u].rch, T[v].rch, mid + 1, rgt);T[u].siz = T[T[u].lch].siz + T[T[u].rch].siz;return u;}LL Query(const int &u, const int &lft, const int &rgt, const int &x) {if (!u) return 0;if (lft == rgt) {  return T[u].l.Cal(x); }LL res = T[u].l.Cal(x);int mid = ((rgt - lft) >> 1) + lft;if (x <= mid) res = std::max(res, Query(T[u].lch, lft, mid, x));else res = std::max(res, Query(T[u].rch, mid + 1, rgt, x));return res;}
} T;int DfnCnt;
int Root[MAXN + 5];LL Dp[MAXN + 5];void Solve(const int &u, const int &f) {for (Edge *i = Adj[u]; i; i = i->nxt) {int v = i->v;if (v == f)continue;Dep[v] = Dep[u] + i->w;Solve(v, u);if (T.T[Root[v]].siz > T.T[Root[u]].siz)std::swap(Root[u], Root[v]);Root[u] = T.Merge(Root[u], Root[v], 0, 2e9);}Dp[u] = T.Query(Root[u], 0, 2e9, A[u] + Dep[u]);T.Insert(Root[u], 0, 2e9, Line(B[u], -(LL)Dep[u] * B[u] + Dp[u]));
}int main() {N = Read<int>();for (int i = 1; i <= N; i++) A[i] = Read<int>(), B[i] = Read<int>();for (int i = 1; i < N; i++) {int u = Read<int>(), v = Read<int>(), w = Read<int>();AddEdge(u, v, w);AddEdge(v, u, w);}Solve(1, 0);for (int i = 1; i <= N; i++) Print(Dp[i]);return 0;
}

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