密码学数学基础——群、环、域
在密码学中，很多密码学知识都涉及大不少数学知识，其中群、环、域这三种集合经常会被许多概念提及，在此做以总结。
一、基础概念
- 幺元 ，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何元素本身，则称这个元素是这个集合对于该二元运算+的幺元，记为e。以加法为例，0就是在整数集合中加法的幺元；
- 零元 ，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是这个元素本身，则称这个数是这个集合对于该二元运算+的零元，记为θ。以乘法为例，0就是在整数集合中加法的零元；
- 逆元，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），存在一个元素a，满足a+a-1=e（e为该运算的幺元），则a与a-1互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。
二、群
- 群的定义
满足以下公理的集合G称为群：（注：×为广义运算）
①在运算×下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于G中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于G中的任意的元，都满足结合律。 - 阿贝尔群的定义
①在运算×下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于G中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于G中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于G中的任意的元，都满足交换律。 - 半群的定义
①在运算×下是封闭的；
②对于G中的任意的元，都满足结合律。 - 含幺半群的定义
①在运算×下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于G中的任意的元，都满足结合律。 - 群的性质
①当一个群G中只含有有限元素，那么这些元素的个数记为群G的阶，记作#G。
②一个群G中的任何子群在相同的运算下如果也是群，则称之为群G的一个子群。
③如果存在一个最小正整数k，满足gk=e，则称k为群G中元素g的阶。
④有限群中任意元素β的阶可整除该群的阶。
⑤相较于无限群，有限群因为其易在计算机中实现，故其在密码学中的作用更大。 - 群的例子
整数群：
①对于任何两个整数a和b，它们的和也是整数。满足条件①，关于运算+是闭集；
②对于任何整数a，存在0 + a = a + 0 = a，满足条件②存在幺元；
③对于任何整数a，存在另一个整数b使得a + b = b + a = 0，则整数b叫做整数a的逆元，记为a-1，满足条件③；
④对于任何整数a，b和c，存在(a + b) + c=a + (b + c)。满足条件④，关于运算+满足结合律。
三、环
- 环的定义
满足以下公理的集合R称为环：
⑴对于加法的代数系统+：（环在加法下是一个阿贝尔群）
①在运算+下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于R中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于R中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于R中的任意的元，都满足交换律。
⑵对于乘法的代数系统×：（环在乘法下是一个半群）
①在运算×下是封闭的；
②对于R中的任意的元，都满足结合律；
⑶关于运算+和×：
对于R中的任意的元，都满足分配律。 - 环的性质
①若环中的乘法运算满足交换律，即ab=ba，这样的环称为交换环。
②若环中的乘法运算拥有幺元，这样的环称之为含幺环。 - 环的例子
整数环：
整数集Z对于运算+是一个阿贝尔群；
对于运算×是一个半群；
所以集合Z是一个环（整数环）
四、域
- 域的定义
满足以下公理的集合F称为域：
⑴对于加法的代数系统+：（域在加法下是一个阿贝尔群）
①在运算+下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于F中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于F中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于F中的任意的元，都满足交换律。
⑵对于乘法的代数系统×：（域（0元素除外）在乘法下是一个阿贝尔群）
①在运算+下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于F中的任意的元（除0元素），都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于F中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于F中的任意的元，都满足交换律。
⑶关于运算+和×：
对于F中的任意的元，都满足分配律。 - 域的性质
①域的一个子集如果在继承的加法和乘法运算下本身也是一个域，就称为域。例如，实数域便是复数域的一个子域。
②含有有限个元素的域称为有限域Fq或伽罗华域GF(q)，其中q为该有限域的元素个数。
③含有2m个元素的有限域称为二进制域。
④含有p（p为奇素数）个元素的有限域称为二进制域。
⑤含有pm（p为素数）个元素的有限域称为特征值为p的域。在特征值为p的有限域中，表达式 ( a + b ) p m = a p m + b p m (a+b)^{p^m} =a^{p^m}+b^{p^m} (a+b)pm=apm+bpm 恒成立。 - 域的例子
有限域：
举例来说，如10以内的非负整数，就是一个有限域。
一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。
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