最小生成树 解释 + 板子题
学习链接：https://oi-wiki.org/graph/concept/
带有步骤：最小生成树 - 哎呦哎(iui) - 博客园
概念：
边权和最小的生成树
（v:点 g:边 | 只有连通图（任意两顶点连通）有树，非连通图为森林）
怎么说呢，更习惯学姐讲题时的板子。可能这就是板子的传承吧
Kruskal 
按权值(边)排序，依次检查现在的点是否连在树里。没有，加入； 有，跳过。
并查集+边贪心
还可以判图连不连通
直到最小生成树中的边数等于总顶点数减1或是测试完所有边时结束，而当结束时如果最小生成树的边数小于总顶点数减1，说明该图不连通
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int pre[maxn];struct node{int from, to, w;
}g[maxn];bool cmp(node a, node b){return a.w < b.w;
}void init(){for(int i = 1; i <= n; ++i){pre[i] = i;}
}int find(int x){if(pre[x] == x)return x;return pre[x] = find(pre[x]);
}// void merge(int x, int y){//看个人习惯，也可以写到kru内部
// x = find(x);
// y = find(y);
// if(x != y)
// pre[x] = y;
// }int kru(int n, int m){int ans = 0, cnt_edge = 0;sort(g, g + m, cmp);for (int i = 0; i < m; ++i){int x = g[i].from;int y = g[i].to;x = find(x), y = find(y);if(x != y){pre[x] = y;ans += g[i].w;++cnt_edge;if(cnt_edge == n - 1) {cout << ans;return;}}}cout << "没连通";
}int main(){init();return 0;
}Prim 
和dij很像，优化也是用优先队列
点贪心
每次选取距离已加入点的最小的点
但这里需要减去点，让每个点只被加入一次，避免形成环
纯prim求的是最小生成树的值
输出方案需要记录每个点的 dis代表的是哪条边。
#define re(a) memset(a, 0, sizeof(a));
#define remax(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a));
#define PII pair<int, int>
const int maxn = 1e4 + 5;int dis[maxn], e[maxn][maxn];
int n;
bool vis[maxn];
int ans;int prim(int s){remax(dis);re(vis);priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;dis[s] = 0;for (int i = 0; i < n; ++i){int u = -1, minx = 0x3f3f3f;for (int j = 0; j < n; ++j){//找到未访问点中距离最小的if(!vis[j] && dis[j] < minx){u = j;minx = dis[j];}}if(u == -1)return -1;vis[u] = true;ans += dis[u];for (int v = 0; v < n; ++v){//中间点if(!vis[v] && e[u][v] != 0x3f3f3f3f)dis[v] = min(dis[v], e[u][v]);}}return ans;
}Boruvka
前两种的结合。适用于最小生成森林。
做题还没看到过，先放一下
板子题
[HAOI2006]聪明的猴子
很容易发现是点与点之间的关系，所以判最短距离中的最长，再与猴子对比可得答案
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 5;
#define PII pair<int, int>
int pre[maxn];
int a[maxn];struct node {int from, to, w;
} g[maxn];bool cmp(node a, node b) {return a.w < b.w;
}void init(int n) {for (int i = 1; i <= n; ++i) {pre[i] = i;}
}int cnt = -1;int find(int x) {if (pre[x] == x)return x;return pre[x] = find(pre[x]);
}void kru(int n, int m) {int ans = 0, cnt_edge = 0;sort(g, g + m, cmp);for (int i = 0; i < m; ++i) {int x = g[i].from;int y = g[i].to;x = find(x), y = find(y);if (x != y) {pre[x] = y;ans = max(ans, g[i].w);++cnt_edge;if (cnt_edge == n - 1) {cnt_edge = 0;//回收利用，懒得定义新变量了,别学for (int i = 0; i < n; ++i) {if (a[i] >= ans)++cnt_edge;}cout << cnt_edge;return;}}}cout << 0;
}vector<PII> v;int lenth(PII a, PII b) {return (a.first - b.first) * (a.first - b.first) + (a.second - b.second) * (a.second - b.second);
}int main() {int m, n;cin >> m;for (int i = 0; i < m; ++i) {cin >> a[i];a[i] *= a[i];}cin >> n;for (int i = 0; i < n; ++i) {int k, b;cin >> k >> b;v.push_back({k, b});//要算两两之间的距离}for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = i + 1; j < n; ++j) {++cnt;g[cnt].from = i;g[cnt].to = j;g[cnt].w = lenth(v[i], v[j]);}}init(cnt);kru(n, cnt);return 0;
}P2330 [SCOI2005]繁忙的都市
来理解一下题目：
1 + 2、改造的路需要形成树，且边数最小
3、分值尽可能小
裸板子
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int pre[maxn];struct node{int from, to, w;
}g[maxn];bool cmp(node a, node b){return a.w < b.w;
}void init(int n){for(int i = 1; i <= n; ++i){pre[i] = i;}
}int find(int x){if(pre[x] == x)return x;return pre[x] = find(pre[x]);
}void kru(int n, int m){int cnt_edge = 0;vector<int> ans;int t = 0;sort(g, g + m, cmp);for (int i = 0; i < m; ++i){int x = g[i].from;int y = g[i].to;x = find(x), y = find(y);if(x != y){pre[x] = y;ans.push_back(i);t = max(t, g[i].w);++cnt_edge;if(cnt_edge == n - 1) {cout << ans.size() << " " << t;return;}}}
}int main(){int n, m;cin >> n >> m;init(m);for (int i = 0; i < m; ++i){cin >> g[i].from >> g[i].to >> g[i].w;}kru(n, m);return 0;
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