原标题：R语言中的数学计算

前言

R是作为统计语言，生来就对数学有良好的支持，一个函数就能实现一种数学计算，所以用R语言做数学计算题特别方便。如果计算器中能嵌入R的计算函数，那么绝对是一种高科技产品。

本文总结了R语言用于初等数学中的各种计算。

目录

基本计算

三角函数计算

复数计算

方程计算1 基本计算

四则运算: 加减乘除, 余数, 整除, 绝对值, 判断正负

> a a+b;a-b;a*b;a/b [1] 15 [1] 5 [1] 50 [1] 2 # 余数,整除 > a%%b;a%/%b [1] 0 [1] 2 # 绝对值 > abs(-a) [1] 10 # 判断正负 > sign(-2:3) [1] -1 -1 0 1 1 1

数学计算: 幂, 自然常用e的幂, 平方根, 对数

> a c^b;c^-b;c^(b/10) [1] 1024 [1] 0.0009765625 [1] 2 # 自然常数e > exp(1) [1] 2.718282 # 自然常数e的幂 > exp(3) [1] 20.08554 # 平方根 > sqrt(c) [1] 2 # 以2为底的对数 > log2(c) [1] 2 # 以10为底的对数 > log10(b) [1] 0.69897 # 自定义底的对数 > log(c,base = 2) [1] 2 # 自然常数e的对数 > log(a,base=exp(1)) [1] 2.302585 # 指数对数操作 > log(a^b,base=a) [1] 5 > log(exp(3)) [1] 3

比较计算: ==, >, =, isTRUE, identical

> a a==a;a!=b;a>b;a=c [1] TRUE [1] TRUE [1] TRUE [1] FALSE [1] FALSE [1] TRUE # 判断是否为TRUE > isTRUE(a) [1] FALSE > isTRUE(!a) [1] FALSE # 精确比较两个对象 > identical(1, as.integer(1)) [1] FALSE > identical(NaN, -NaN) [1] TRUE > f g identical(f, g) [1] TRUE

逻辑计算： &, |, &&, ||, xor

> x y x && y;x || y [1] FALSE [1] FALSE # S4对象的逻辑运算，比较所有元素 &, | > x & y;x | y [1] FALSE FALSE FALSE TRUE [1] FALSE TRUE TRUE TRUE # 异或 > xor(x,y) [1] FALSE TRUE TRUE FALSE > xor(x,!y) [1] TRUE FALSE FALSE TRUE

约数计算： ceiling,floor,trunc,round,signif

# 向上取整 > ceiling(5.4) [1] 6 # 向下取整 > floor(5.8) [1] 5 # 取整数 > trunc(3.9) [1] 3 # 四舍五入 > round(5.8) # 四舍五入,保留2位小数 > round(5.8833, 2) [1] 5.88 # 四舍五入,保留前2位整数 > signif(5990000,2) [1] 6e+06

数组计算： 最大, 最小, 范围, 求和, 均值, 加权平均, 连乘, 差分, 秩，,中位数, 分位数, 任意数，全体数

> d max(d);min(d);range(d) [1] 9 [1] 1 [1] 1 9 # 求和,均值 > sum(d),mean(d) [1] 25 [1] 5 # 加权平均 > weighted.mean(d,rep(1,5)) [1] 5 > weighted.mean(d,c(1,1,2,2,2)) [1] 5.75 # 连乘 > prod(1:5) [1] 120 # 差分 > diff(d) [1] 2 2 2 2 # 秩 > rank(d) [1] 1 2 3 4 5 # 中位数 > median(d) [1] 5 # 分位数 > quantile(d) 0% 25% 50% 75% 100% 1 3 5 7 9 # 任意any，全体all > e any(e<0);all(e<0) [1] TRUE [1] FALSE

排列组合计算: 阶乘, 组合, 排列

# 5!阶乘 > factorial(5) [1] 120 # 组合, 从5个中选出2个 > choose(5, 2) [1] 10 # 列出从5个中选出2个的组合所有项 > combn(5,2) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 [2,] 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5 # 计算0:10的组合个数 > for (n in 0:10) print(choose(n, k = 0:n)) [1] 1 [1] 1 1 [1] 1 2 1 [1] 1 3 3 1 [1] 1 4 6 4 1 [1] 1 5 10 10 5 1 [1] 1 6 15 20 15 6 1 [1] 1 7 21 35 35 21 7 1 [1] 1 8 28 56 70 56 28 8 1 [1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 [1] 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 # 排列，从5个中选出2个 > choose(5, 2)*factorial(2) [1] 20

累积计算: 累加, 累乘, 最小累积, 最大累积

# 累加 > cumsum(1:5) [1] 1 3 6 10 15 # 累乘 > cumprod(1:5) [1] 1 2 6 24 120 > e cummin(e) [1] -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 # 最大累积cummax > cummax(e) [1] -3 -2 -1 0 1 2 3

两个数组计算: 交集, 并集, 差集, 数组是否相等, 取唯一, 查匹配元素的索引, 找重复元素索引

# 定义两个数组向量 > x y intersect(x,y) [1] 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 # 并集 > union(x,y) [1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 [18] 6 7 0 8 # 差集，从x中排除y > setdiff(x,y) [1] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 # 判断是否相等 > setequal(x, y) [1] FALSE # 取唯一 > unique(c(x,y)) [1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 [18] 6 7 0 8 # 找到x在y中存在的元素的索引 > which(x %in% y) [1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 [18] 29 30 31 > which(is.element(x,y)) [1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 [18] 29 30 31 # 找到重复元素的索引 > which(duplicated(x)) [1] 18 19 20 24 25 26 27 28 29 30 2 三角函数计算

2.1 三角函数

在直角三角形中仅有锐角(大小在0到90度之间的角)三角函数的定义。给定一个锐角θ，可以做出一个直角三角形，使得其中的一个内角是θ。设这个三角形中，θ的对边、邻边和斜边长度分别是a、b和h。

三角函数的6种关系：正弦,余弦,正切,余切,正割,余割。

θ的正弦是对边与斜边的比值：sin θ = a/h

θ的余弦是邻边与斜边的比值：cos θ = b/h

θ的正切是对边与邻边的比值：tan θ = a/b

θ的余切是邻边与对边的比值：cot θ = b/a

θ的正割是斜边与邻边的比值：sec θ = h/b

θ的余割是斜边与对边的比值：csc θ = h/a

三角函数的特殊值：

函数 0 pi/12 pi/6 pi/4 pi/3 5/(12*pi) pi/2 sin 0 (sqrt(6)-sqrt(2))/4 1/2 sqrt(2)/2 sqrt(3)/2 (sqrt(6)+sqrt(2))/4 1 cos 1 (sqrt(6)+sqrt(2))/4 sqrt(3)/2 sqrt(2)/2 1/2 (sqrt(6)-sqrt(2))/4 0 tan 0 2-sqrt(3) sqrt(3)/3 1 sqrt(3) 2+sqrt(3) NA cot NA 2+sqrt(3) sqrt(3) 1 sqrt(3)/3 2-sqrt(3) 0 sec 1 sqrt(6)-sqrt(2) sqrt(3)*2/3 sqrt(2) 2 sqrt(6)-sqrt(2) NA csc NA 2 sqrt(2) sqrt(3)*2/3 sqrt(6)-sqrt(2) 1 NA

三角基本函数: 正弦,余弦,正切

# 正弦 > sin(0);sin(1);sin(pi/2) [1] 0 [1] 0.841471 [1] 1 # 余弦 > cos(0);cos(1);cos(pi) [1] 1 [1] 0.5403023 [1] -1 # 正切 > tan(0);tan(1);tan(pi) [1] 0 [1] 1.557408 [1] -1.224647e-16

接下来，我们用ggplot2包来画出三角函数的图形。

# 加载ggplot2的库 > library(ggplot2) > library(scales)

三角函数画图

# x坐标 > x s1 s2 s3 s4 s5 s6 df g g g g g

2.1 反三角函数

基本的反三角函数定义：

反三角函数 定义 值域 arcsin(x) = y sin(y) = x - pi/2 <= y <= pi/2 arccos(x) = y cos(y) = x 0 <= y <= pi, arctan(x) = y tan(y) = x - pi/2 < y < pi/2 arccsc(x) = y csc(y) = x - pi/2 <= y <= pi/2, y!=0 arcsec(x) = y sec(y) = x 0 <= y <= pi, y!=pi/2 arccot(x) = y cot(y) = x 0 < y < pi

反正弦,反余弦,反正切

# 反正弦asin > asin(0);asin(1) [1] 0 [1] 1.570796 # pi/2=1.570796 # 反余弦acos > acos(0);acos(1) [1] 1.570796 # pi/2=1.570796 [1] 0 # 反正切atan > atan(0);atan(1) [1] 0 [1] 0.7853982 # pi/4=0.7853982

反三角函数画图

# x坐标 > x s1 s2 s3 s4 s5 s6 df g g g g

2.3 三角函数公式

接下来，用单元测试的方式，来描述三角函数的数学公式。通过testthat包，进行单元测试，关于testthat包的安装和使用，请参考文章：

# 加载testthat包 > library(testthat) # 定义变量 > a

平方和公式:

sin(x)^2+cos(x)^2 = 1expect_that(sin(a)^2+cos(a)^2,equals(1))

和角公式

sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)

sin(a-b) = sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)

cos(a+b) = cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a)

cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a)

tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))

tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b))expect_that(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a),equals(sin(a+b))) expect_that(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a),equals(sin(a-b))) expect_that(cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a),equals(cos(a+b))) expect_that(cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a),equals(cos(a-b))) expect_that((tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)),equals(tan(a+b))) expect_that((tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)),equals(tan(a-b)))

2倍角公式

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a)

cos(2*a) = cos(a)^2-sin(a)^2=2*cos(a)^2-1=1-2*sin2(a)expect_that(cos(a)^2-sin(a)^2,equals(cos(2*a))) expect_that(2*cos(a)^2-1,equals(cos(2*a))) expect_that(1-2*sin(a)^2,equals(cos(2*a)))

3倍角公式

cos(3*a) = 4*cos(a)^3-3*cos(a)

sin(3*a) = -4*sin(a)^3+3*sin(a)expect_that(4*cos(a)^3-3*cos(a),equals(cos(3*a))) expect_that(-4*sin(a)^3+3*sin(a),equals(sin(3*a)))

半角公式

sin(a/2) = sqrt((1-cos(a))/2)

cos(a/2) = sqrt((1+cos(a))/2)

tan(a/2) = sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))) = sin(a)/(1+cos(a)) = (1-cos(a))/sin(a)expect_that(sqrt((1-cos(a))/2),equals(abs(sin(a/2)))) expect_that(sqrt((1+cos(a))/2),equals(abs(cos(a/2)))) expect_that(sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2)))) expect_that(abs(sin(a)/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2)))) expect_that(abs((1-cos(a))/sin(a)),equals(abs(tan(a/2))))

和差化积

sin(a)*cos(b) = (sin(a+b)+sin(a-b))/2

cos(a)*sin(b) = (sin(a+b)-sin(a-b))/2

cos(a)*cos(b) = (cos(a+b)+cos(a-b))/2

sin(a)*sin(b) = (cos(a-b)-cos(a+b))/2expect_that((sin(a+b)+sin(a-b))/2,equals(sin(a)*cos(b))) expect_that((sin(a+b)-sin(a-b))/2,equals(cos(a)*sin(b))) expect_that((cos(a+b)+cos(a-b))/2,equals(cos(a)*cos(b))) expect_that((cos(a-b)-cos(a+b))/2,equals(sin(a)*sin(b)))

积化和差

sin(a)+sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a+b)/2)

sin(a)-sin(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

cos(a)+cos(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

cos(a)-cos(b) = -2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)expect_that(sin(a)+sin(b),equals(2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2))) expect_that(sin(a)-sin(b),equals(2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2))) expect_that(2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2),equals(cos(a)+cos(b))) expect_that(-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2),equals(cos(a)-cos(b)))

万能公式

sin(2*a)=2*tan(a)/(1+tan(a)^2)

cos(2*a)=(1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2)

tan(2*a)=2*tan(a)/(1-tan(a)^2)expect_that(sin(2*a),equals(2*tan(a)/(1+tan(a)^2))) expect_that((1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2),equals(cos(2*a))) expect_that(2*tan(a)/(1-tan(a)^2),equals(tan(2*a)))

平方差公式

sin(a+b)*sin(a-b)=sin(a)^2+sin(b)^2

cos(a+b)*cos(a-b)=cos(a)^2+sin(b)^2expect_that(sin(a)^2-sin(b)^2,equals(sin(a+b)*sin(a-b))) expect_that(cos(a)^2-sin(b)^2,equals(cos(a+b)*cos(a-b)))

降次升角公式

cos(a)^2=(1+cos(2*a))/2

sin(a)^2=(1-cos(2*a))/2expect_that((1+cos(2*a))/2,equals(cos(a)^2)) expect_that((1-cos(2*a))/2,equals(sin(a)^2))

辅助角公式

a*sin(a)+b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a))expect_that(sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a)),equals(a*sin(a)+b*cos(a))) 3 复数计算

复数，为实数的延伸，它使任一多项式都有根。复数中的虚数单位i，是-1的一个平方根，即i^2 = -1。任一复数都可表达为x + yi，其中x及y皆为实数，分别称为复数之“实部”和“虚部”。

3.1 创建一个复数

# 直接创建复数 > ai class(ai) [1] "complex" # 通过complex()函数创建复数 > bi is.complex(bi) [1] TRUE # 实数部分 > Re(ai) [1] 5 # 虚数部分 > Im(ai) [1] 2 # 取模 > Mod(ai) [1] 5.385165 # sqrt(5^2+2^2) = 5.385165 # 取辐角 > Arg(ai) [1] 0.3805064 # 取轭 > Conj(ai) [1] 5-2i

3.2 复数四则运算

加法公式：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

减法公式：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i

乘法公式：(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法公式：(a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)# 定义系数 a

3.3 复数开平方根

# 在实数域，给-9开平方根 > sqrt(-9) [1] NaN # 在复数域，给-9开平方根 > sqrt(complex(real=-9)) [1] 0+3i 4 方程计算

方程计算是数学计算的一种基本形式，R语言也可以很方便地帮助我们解方程，下面将介绍一元多次的方程，和二元一次方程的解法。

解一元多次方程，可以用uniroot()函数！

4.1 一元一次方程

一元一次方程：a*x+b=0，设a=5，b=10，求x？

# 定义方程函数 > f1 a result result$root [1] -2

一元一次方程非常容易解得，方程的根是-2！

以图形展示方程：y = 5*x + 10

# 创建数据点 > x y df g g g g g g

4.2 一元二次方程

一元二次方程：a*x^2+b*x+c=0，设a=1，b=5，c=6，求x？

> f2 a result result$root [1] -2

把参数带入方程，用uniroot()函数，我们就解出了方程的一个根，改变计算的区间，我们就可以得到另一个根。

> result result$root [1] -3

方程的两个根，一个是-2，一个是-3。

由于uniroot()函数，每次只能计算一个根，而且要求输入的区间端值，必须是正负号相反的。如果我们直接输入一个(-10,0)这个区间，那么uniroot()函数会出现错误。

> result

这应该是uniroot()为了统计计算对一元多次方程而设计的，所以为了使用uniroot()函数，我们需要取不同的区别来获得方程的根。

以图形展示方程：y = x^2 + 5*x + 6

# 创建数据点 > x y df g g g g g

我们从图，并直接的看到了x的两个根取值范围。

4.3 一元三次方程

一元二次方程：a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，设a=1，b=5，c=6，d=-11，求x？

> f3 a result result$root [1] 0.9461458

如果我们设置对了取值区间，那么一下就得到了方程的根。

以图形展示方程：y = x^2 + 5*x + 6

# 创建数据点 > x y df g g g g g

4.4 二元一次方程组

R语言还可以解二次的方程组，当然计算方法，其实是利用于矩阵计算。

假设方程组：是以x1,x2两个变量组成的方程组，求x1,x2的值

以矩阵形式，构建方程组

# 左矩阵 > lf rf result result [,1] [1,] 3 [2,] -1

得方程组的解，x1, x2分别为3和-1。

接下来，我们画出这两个线性方程的图。设y=X2, x=X1，把原方程组变成两个函数形式。

# 定义2个函数 > fy1 fy2 x y1 y2 dy1 dy2 df g g g g

我们看到两条直线交点的坐标，就是方程组的两个根。多元一次方程，同样可以用这种方法来解得。

通过R语言，我们实现了对于初等数学的各种计算，真的是非常方便！下一篇文章将介绍，用R语言来解决高级数学中的计算问题。

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