C语言中超大整数乘法运算.docx

.C 语言中超大整数乘法运算在计算机中，长整型 long int 变量的范围是 -2147483648 至 2147483647 ，因此若用长整型变量做乘法运算，乘积最多不能超过 10 位数。即便用双精度型 double 变量，也仅能保证 16 位有效数字的精度。在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。下面先介绍“列表法”例如当计算 8765 x 234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1 把表 1 中的数按图示斜线分组(横纵坐标和相等的数分为一组)，把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表 2 从最低位的 20 开始，保留个位数字“0 ”，把个位以外的数“2 ”进到前一位；把39次低位的加上低位进上来的2 得 41 ，保留个位数字“1 ”，把“4 ”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16 ，16 加上低位进上来的4 得 20 ，保留“0 ”，把2 进到最高位，得乘积答数2051010 。根据以上思路就可以编写C 程序了，再经分析可得1、一个 m 位的整数与一个n 位的整数相乘，乘积为mn-1位或 mn 位。2、程序中，用三个字符数组分别存储乘数、被乘数与乘积。由第1 点分析知，存放乘积的字符数组的长度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格2 所需的空间。4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。编写的程序如下define MAXLENGTH 1000include stdio.hinclude string.hvoid computechar *a, char *b, char *c;void mainvoidchar aMAXLENGTH, bMAXLENGTH, cMAXLENGTH * 2;puts multiplier ;getsa;puts multiplicand ;getsb;computea, b, c;putsAnswer ;putsc;getchar;void computechar *a, char *b, char *cint i, j, m, n;long sum, carry;m strlena - 1;n strlenb - 1;for i m; i 0; iai - 0;for i n; i 0; ibi - 0;cm n 2 0;carry 0;for i m n; i 0; i /* i为坐标和 */sum carry;if j i - m 0j 0;for ; ji jn; j /* j为纵坐标 */sum ai-j * bj; /*累计一组数的和*/ci 1 sum 10 0; /*算出保留的数字*/carry sum / 10; /*算出进位 */if c0 carry0 0 /* if no carry, */c0 040; /* c0 equals to space */效率分析用以上算法计算 m 位整数乘以 n 位整数，需要先进行 m x n 次乘法运算，再进行约 m n 次加法运算和 m n 次取模运算 实为整数除法 。把这个程序稍加修改，让它自己产生乘数与被乘数，然后计算随机的 7200 位整数互乘，在 Cyrix 6x86 pr166 机器的纯 DOS 方式下耗时 7 秒用 Borland C3.1 编译 。经过改进，此算法效率可以提高约9 倍。注意到以下事实 8216547 x 96785 将两数从个位起，每 3 位分为节，列出乘法表，将斜线间的数字相加；8 216 54796 785将表中最后一行进行如下处理从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出1000 的部分进位到前一个方格里；所以 8216547 x 96785 795238501395也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也是满 1000 进位。这样，我们在计算m 位整数乘以 n 位整数，只需要进行m x n / 9次乘法运算，再进行约 m n / 3次加法运算和 m n /3次取模运算。总体看来，效率约是前一种算法的 9 倍。有人可能会想既然能够三位三位地乘，为什么不4 位 4 位甚至 5 位 5 位地乘呢那不是可以提高 16 乃至 25 倍效率吗听我解来本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整数 范围 0 至 4294967295 作为累加变量，在最不利的情况下 两个乘数的所有数字均是9 ，能够累加约 4294967295/999*9994300次，也就是能够准确计算任意两个均不超过12900 每次累加的结果 值 三位，故 4300*312900位的整数相乘。如果4 位 4 位地乘，在最不利的情况下，能够累加约4294967295/9999*999943次，仅能够确保任意两个不超过172 位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说5 位了。请看改进后的算法的实例程序该程序随机产生两个 72xx 位的整数，把乘数与积保存在 result.txt 中。在 Borland C 3.1 中用BCC -3 -O2 -G -mh -Z -f287 -pr -T- dashu.cpp编译生成的 文件在 Cyrix 6x86 pr166的机器上运行耗时0.82 秒。程序 2 清单includeconio.hincludestring.hincludestdio.hincludestdlib.hincludetime.hdefine N 7200 作 72xx 位的整数乘法int maxint,int,int;int initarrayint a;void writeint a,int l;FILE *fp;void mainint a50000,b50000,k100010; 声明存放乘数、被乘数与积的数组clock_t start, end; 声明用于计时的变量unsigned long c,d,e; 声明作累加用的无符号长整数变量 int i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; 声明其它变量 randomize; 初始化随机数lainitarraya; 产生被乘数，并返回其长度lbinitarrayb; 产生乘数，并返回其长度iflalb 如果被乘数长度小于乘数，则交换被乘数与乘数plblalbla;for q0;qp;q 交换被乘数与乘数taq,aqbq,bqt;tla,lalb,lbt; 交换被乘数的长度与乘数的长度start clock;开始计时cd0; 清空累加变量，其中C 用于累加斜线间的数， d 用作进位标志forilalb-2;i0;i 累加斜线间的数， i 为横纵坐标之和cd; 将前一位的进位标志存入累加变量cmamax0,i-la1,i-lb1; 求累加的下限miila-1la-1i; 求累加的上限forjma;jmi;j 计算出横纵坐标之和为i 的单元内的数 ,并累加到 C 中clongaj*bi-j;dc/1000; 求进位标志ifc999c1000; 取 c 的末三位kic; 保存至表示乘积的数组kek01000*d; 求出乘积的最高位end clock;停止计时fp result.txt, w; 保存结果到 result.txtprintfnThe elapsed time was 3.4fn, end - start / CLK_TCK; 打印消耗的时间fprintffp,d,a0; 打印被乘数最高位writea,la; 打印被乘数其他位fprintffp,d,b0; 打印乘数最高位writeb,lb; 打印乘数其他位fprintffp,ld,e; 打印乘积最高位writek,lalb-1; 打印乘积其他位fclosefp;maxint a,int b,int cint d;dabab;return dcdc;int initarrayint aint q,p,i;qNrandom100;ifq30pq/3;elsepq/31;fori0;ip;iairandom1000;ifq30a0100random900;ifq32a010random90;ifq31a01random9;return p;void writeint a,int lint i;char string10;fori1;il;iitoaai,string,10;if strlenstring1fprintffp,00;if strlenstring2fprintffp,0;fprintffp,s,string;ifi1250fprintffp,n;fprintffp,n;fprintffp,n;.