类动态规划求解较小规模的最大团问题（Python实现）

1.图：由点、边（点与点之间连线），组成的集合，如点集V=[0,1,2,3,4]，边集E=[[1,3,4],[2,3,4],[4],[4],[]]，则（V，E）就是一个图，其表达的意思如下：

该图中含有5个端点，分别为0,1,2,3,4，这些点存在V中，如端点1对应V[1]=1端点之间会连着线，称为边，如1和2之间连的边，就对应E中E[1]=[2,3,4]的元素2，如0和4之间连的边就对应E[0]=[1,3,4]含有元素4（E[4]=[]不含元素0是因为0<4，只需在E[0]中记录了4即可）

2.团：一个图可能会有多个团，团是V的子集，记为集合G，且保证G中任意两点之间都有连线如G=[1,3,4]，其中1,3,4三点两两相连，一个图的包含元素最多的团称为最大团。

最大团问题网上的求解办法非常多（本身其实这是一个NP问题），这次比较特殊的地方是要求使用Python，而且如果有多个解要输出多个具体的解（也就是说中间结果要记录），总之题目描述就是：

输入：V,E

输出：最大团数目，最大团集合（如果有多个要求全部输出）

采用动态规划的思想就是将问题分段求解，可以将问题分为5段：求含有一个、两个、三个、四个、五个元素的团，其中含有N元素的团必包含含有N-1个元素的团，故只需在上一段问题的答案的基础上，尝试给团添加新的元素。

另外，实际上例如求解出两个元素的团，如本题中的[0,1]，[0,3]，[0,4]，[1,2]，[1,3]，[1,4]，[2,4]，[3,4]时，已经裁掉了[0,2],[2,3]的下面的解了，所以也算有一点剪枝的意思。接下来直接看代码实现：

#-*- coding=utf-8 -*-  V=[0,1,2,3,4]
# E=[[1,3,4],[2,4],[4],[4],[]]
E=[[1,3,4],[2,3,4],[4],[4],[]]  ###较小规模的最大团问题
import copy  def isConnected(u,v):  if u==-1 or v==-1:###虚拟节点-1与所有的节点都相连  return 1  edge_points=E[u]  if v in edge_points:  return 1  else:  edge_points = E[v]  if u in edge_points:  return 1  else:  return 0  def isConnectedAll(clique,v):#判断v是否和clique中所有节点相连  flag = 1  for i in clique:  if not isConnected(i,v):  flag =0  break  return flag  class Step:  def __init__(self):  self.maxClique = [] #计算完毕时的解集（每个阶段的实际结果）  self.cliqueList = []#计算时用的解集  self.maxnC = 0  def maxCliqn(self):#计算当前阶段最大值  max = 0  for clique in self.cliqueList:  if max < len(clique):  max = len(clique)  return max  def isNew(self,clique): #判断一个解组合是否已经存在于该阶段的实际解集中  for cl in self.maxClique:#针对每个已存入的解集进行判断  diff = list(set(clique).difference(set(cl)))  # 取解的差集  if (len(diff)):  continue      #差集不为空，说明不同，继续循环  else:  return False  # 差集为空,说明有个解完全一样，返回False return True  def updateMaxClique(self):#更新当前阶段的最大团数目  self.maxnC= self.maxCliqn()  for clique in self.cliqueList:  if(len(clique)==self.maxnC):  if self.isNew(clique):  self.maxClique.append(clique)  if __name__ == "__main__":  n = len(V)  solutions = {}  for i in range(0,n):  solutions[i]= Step()    #初始化n个阶段  for v in V:  a = []  a.append(v)  solutions[0].cliqueList.append(a)  solutions[0].updateMaxClique()#设置初始值  for i in range(1,n):  #cliqList= solutions[i-1].maxClique  preData = solutions[i-1]  cliqList = preData.maxClique  preMax = preData.maxnC  for clique in cliqList:#针对前一阶段的每个clique求解  for v in V:#针对所有的点  tempclique = copy.deepcopy(clique)##必须使用深拷贝  if not v in tempclique:#如果该clique没有包含v  if isConnectedAll(tempclique,v):#如果v与clique的所有点相连  tempclique.append(v)#加入该点  solutions[i].cliqueList.append(tempclique)#加入这个解  solutions[i].updateMaxClique()  if not len(solutions[i].maxClique):#如果已经找不到更多的点加入团，那么后面的也不用计算了（比如找不到4个的团，那么5个的团也没必要再尝试计算）  break  for i in range(0,n):  print("step"+str(i)+": "+str(solutions[i].maxClique))  for i in range(n-1,-1,-1):  solution = solutions[i]  if len(solution.maxClique):  maxn = solution.maxnC  print("最大团数目是"+ str(maxn)+"个")  print("最大团为:")  print(solution.maxClique)  break

值得注意的一点是，python里面直接用赋值符号得到的对象实例是使用的浅拷贝，跟java类似，所以要使用copy模块的deepcopy函数来建立临时列表做各种判断以及修改添加（因为我也对python不太熟悉，而且原来没仔细考虑过拷贝引用带来的问题，中间错了好一阵）。

输出：

V=[0,1,2,3,4]
E=[[1,3,4],[2,4],[4],[4],[]]

step0: [[0], [1], [2], [3], [4]]
step1: [[0, 1], [0, 3], [0, 4], [1, 2], [1, 4], [2, 4], [3, 4]]
step2: [[0, 1, 4], [0, 3, 4], [1, 2, 4]]
step3: []
step4: []
最大团数目是3个
最大团为:
[[0, 1, 4], [0, 3, 4], [1, 2, 4]]

E=[[1,3,4],[2,3,4],[3,4],[4],[]]

step0: [[0], [1], [2], [3], [4]]
step1: [[0, 1], [0, 3], [0, 4], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]]
step2: [[0, 1, 3], [0, 1, 4], [0, 3, 4], [1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]]
step3: [[0, 1, 3, 4], [1, 2, 3, 4]]
step4: []
最大团数目是4个
最大团为:
[[0, 1, 3, 4], [1, 2, 3, 4]]

E=[[1,3,4],[2,3,4],[4],[4],[]]

step0: [[0], [1], [2], [3], [4]]
step1: [[0, 1], [0, 3], [0, 4], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 4], [3, 4]]
step2: [[0, 1, 3], [0, 1, 4], [0, 3, 4], [1, 2, 4], [1, 3, 4]]
step3: [[0, 1, 3, 4]]
step4: []
最大团数目是4个
最大团为:
[[0, 1, 3, 4]]

其他的也没怎么测试了，如果有bug，各位读者看着改改吧= =。提供一个思路，仅作参考。

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