01背包问题 动态规划求解方法 动态方程的详细解释 能理解的解释（附python代码）
01背包问题属于组合优化问题：假设你要出门旅游，你现在有一个书包，这个书包的容量(capacity)有限，有很多物品如牙刷、防晒霜、雨伞、水杯等等，但书包装不下所有物品，因此我们必须有所取舍。那么通常我们怎么取舍的呢？一般我们会选择那些重要的物品，这个重要性我们可以量化为一个数字(value)。此时背包问题就抽象为：
给定n个物品，容量为capacity的背包。每个物品自身体积ws=[w1, w2,w3...]，每个物品的自身价值vs=[v1, v2, v3...]，求书包在容量不超限的情况下，装入物品的最大价值是多少？（w1表示第一个物品的体积，v1表示第一个物品的价值）。
动态规划求解思想：问题可以由类似的子问题进行求解，定义数组形式来表示问题的解--->初始化数组的边界值--->递推求解整个数组值。
那么根据该思想，背包问题的动态规划思路建立过程如下：
第一步：定义数组形式的问题解。定义dp[i][j],表示背包容量为j时，前i个物品能够组合出来的最大价值。先不考虑怎么推导，思考一下该定义下我们问题的最终解是什么？？？应当是dp[n][capacity], 即背包容量为capacity时，前n个物品的组合出来的最大价值。那么怎么想出来的要这么定义的呢？不同动态规划问题的数组定义方式不一样，如何定义数组也是最难的。根据个人经验，该数组定义时考虑控制问题规模的量，背包问题中是：物品个数可多些可少些，背包容量可大些可小些。我们说过动规是有子问题形式的，这个子问题隐藏着问题规模的变化，因此物品个数和背包容量控制着问题规模的变化，我们考虑用它们来表示背包问题的解。
第二步：初始化数组边界值。容易想到，dp[i][0],即背包容量为0时，前i个物品的最优价值一定是0，因为容量为0，说明没有物品能放入背包，那么背包价值为0。同样dp[0][j]=0，因为前0个物品的也没有价值。 此处需要注意一点：我们问题的最终解为dp[n][capacity], 在C++中，定义int dp[10],访问时只能访问到dp[9],因为数组下标从0开始。因此C++中定义形式是dp[n+1][capacity+1]
第三步：递推，简历动态规划方程。所有动规方程的建立都是考虑一点，数组形式下的dp[i][j]等于什么？即如何让已经求得的某些dp值来表示dp[i][j]。考虑dp[i][j]表示背包容量为 j 时，前i个物品的最优价值，对其求解时dp[i-1][j]是已知的，那么第 i 物品是否应该放入背包呢？第一种情况 i 物品的体积很大, 大于 j ,也即即便将背包里已有物品全挪走，i 物品也放不下背包中,此时dp[i][j] = dp[i-1][j]。 第二种情况 i 物品体积比背包容量 j 小，也即如果背包可以腾出来 i 物品体积大小的地方，但是我们要想一下：要把i 放进去，会挪出来一部分物品，此时背包价值变为dp[i-1][j-wi]+vi, 即腾出来wi体积的地方后，剩余j-wi的地方放前i-1个物品的组合情况，然后该情况加上第i个物品价值即可。而如果我们不放入i物品，此时背包价值为dp[i-1][j], 因此最大的价值是dp[i][j]=max(dp[i-1][j-wi]+vi, dp[i-1][j])。
python代码如下：
# 第一行输入物品个数n和背包容量capacity
# 第二行输入物品体积w[]
# 第三行输入物品价值v[]
n, capacity = list(map(int, input().split()))
ws = list(map(int, input().split()))
vs = list(map(int, input().split()))ws = [0] + ws
vs = [0] + vs
dp = [[0]*(capacity+1) for i in range(n+1)] #dp[i][j]表示前i个物品，占据了j体积时的最优价值for i in range(1, n+1):for j in range(1, capacity+1):if ws[i]>j: #第i个物品放不下时，最优价值与前i-1个物品最优价值一致dp[i][j] = dp[i-1][j]else: #放得下时，因为要求放入i后剩余容量仍未j，那么势必有其他物品被取出，此时最大价值应考虑两部分：max(不放入i的最优价值，放i后的价值)dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-ws[i]]+vs[i])print(dp[n][capacity])01背包问题 动态规划求解方法 动态方程的详细解释 能理解的解释（附python代码）相关推荐
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