动态规划求解所有字符的组合数

一，问题描述

给定若干个字符，求解这些字符能够表示的最多组合个数。比如{'a','b','c'} 一共有七种组合。(每种组合没有重复的字符且组合的种数与顺序无关，如 ab 和 ba 是同一种组合)

a、b 、c 、ab 、ac 、bc 、abc

其实，求组合个数，可以用公式来求解:具给定 n种字符，一共有 c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n)种不同的组合。其中，c(n,i)表示：从n个字符中任选 i 个的组合数，数学表示为：C ⁱ_n。

二，DP算法思路

既然已经可以用上面的公式 c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n) 来计算不同的组合数了，那为什么还用DP？因为，上面的公式只能给定组合数，但是不能给出具体是哪些组合。

假设输入 m 个字符（互不相同），则这些字符只能构成长度为 1,2,....m 的组合，设某个组合的长度为 n。即： 1 =< n <= m

设 c[m][n] 表示使用 m 种不同的字符，表示长度最多为 n 的组合个数的最大值。

最大值 体现了最优子问题性质。最优子问题分析如下：把字符组合分成两部分，第一个字符以及剩下的所有字符。

对于第 m 种字符而言，只有两种情况：①是字符组合的第一个字符，②不是在字符组合的第一个字符。因此，可以应用《组合数学》中的加法原理。（比如 'abc' 就是一个字符组合）

c[m][n]=c[m-1][n-1] + c[m-1][n]

c[m-1][n-1]，表示第 m 个字符是字符组合中的第一个字符。此时，该问题变成：用 1,2,...m-1个字符(共 m-1 种) 来组合长度为 n-1的字符组合(‘字符串’)

c[m-1][n]，表示第 m 个字符不是字符组合中的第一个字符。此时，该问题变成：在剩余的 m-1种字符里面选出 n 个字符来组合。？？？（有点不太对）

'm' ? ? .... ? 第一个字符是 'm'

'*' ? ? .....? 第一个字符不是 'm'

注意，原问题表示的字符组合长度是 n

这个问题的DP求解与动态规划求解最多有几种方案求解硬币找零问题非常相似。

同时，这也是一个典型的加法原理的应用。

三，代码实现

public class AllComposite {/*** * @param str 存储可用的字符种类* @param m 可用的字符种类数* @param n 组合中的最大长度* @return  */public static int allCombination(char[] str, int m, int n){//base conditionif(m == 0 && n > 0)return 1;if(n == 0)return 0;return allCombination(str, m-1, n-1)+ allCombination(str, m-1, n);}public static int dpAllCombination(char[] str, int n){int[][] c = new int[n+1][n+1];//可根据上面的递归来判断初始条件for(int i = 0; i <=n; i++){c[0][i] = 1;c[i][0] = 0;//c[0][0]=0
        }//c[n][n]=c[n-1][m-1] + c[n-1][m]for(int i = 1; i <=n; i++){for(int j = 1; j <=n; j++){c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];}}return c[n][n];}public static void main(String[] args) {char[] str = {'a','b','c','d'};int m ,n ;m = n = str.length;int result = allCombination(str, m, n);int result2 = dpAllCombination(str, n);System.out.println(result);System.out.println(result2);}
}

对于初始条件的确定，可以先画一个小的示例图来确定。比如：allCombination({'a','b','c'}, 3)......

在代码里面记录下具体选了哪些字符，就可以打印输出具有的字符组合了。其实我也不会。

时间复杂度分析：从上面的递归方法来看：递归表达式为 T(m)=2T(m-1)，得出：T(m)=2^m ，指数级复杂度

而从上面的动态规划求解方法来看：时间复杂度为O(m^2)

原因就是：这个问题存在重叠的子问题，对于DP而言，不需要重复地计算某些值，而是通过查找求得。这篇文章求解两个字符串的最长公共子序列详细分析了DP的优势在哪里。

（动态规划的两个基本特征：①最优子结构；②重叠子问题）

四，参考资料

http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5579737.html

求解两个字符串的最长公共子序列

http://wuchong.me/blog/2014/07/28/permutation-and-combination-realize/

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