【波导】——理解群速度和相速度

概述

　对于接受阵的某个阵元来说，其空间位置固定，接收到的是声场时域信号。
　在理想波导中，我们假设声源是单频的，推导出了声场的表达式，是由可以传播的各号简正波叠加而成：
p(z,r;ω)=∑n=1N2πkrnrφn(kznz0)φn(kznz)e−jkrnrp(z,r;\omega)=\sum_{n=1}^{N}\sqrt{\frac{2\pi}{k_{rn}r}}\varphi_{n}(k_{zn}z_0)\varphi_{n}(k_{zn}z)e^{-jk_{rn}r}p(z,r;ω)=n=1∑Nkrnr2πφn(kznz0)φn(kznz)e−jkrnr
　其中φn\varphi_{n}φn是垂直方向上的模态函数，影响该垂直位置的柱面波的振幅。各号模态函数的分布如下图所示，n号简正波的模态函数有n-1个零点：
　

单频信号

我们取某一阵元的深度zhz_hzh，考虑第一号简正波和第二号简正波的区别，首先写出它们的表达式(依旧考虑单频声源)：
　p1(r;t)=B1φ1(kz1z0)φ1(kz1zh)ej(ωt−kr1r)p_1(r;t)=B_1\varphi_{1}(k_{z1}z_0)\varphi_{1}(k_{z1}z_h)e^{j(\omega t-k_{r1}r)}p1(r;t)=B1φ1(kz1z0)φ1(kz1zh)ej(ωt−kr1r)p2(r;t)=B2φ2(kz2z0)φ2(kz2zh)ej(ωt−kr2r)p_2(r;t)=B_2\varphi_{2}(k_{z2}z_0)\varphi_{2}(k_{z2}z_h)e^{j(\omega t-k_{r2}r)}p2(r;t)=B2φ2(kz2z0)φ2(kz2zh)ej(ωt−kr2r)
　可以发现，如果固定水平位置rrr，即在一个阵元上接收到的时域信号的频率是相同的，不同号简正波的差别在振幅和初相位；而固定时间ttt，即在某一时刻，不同号简正波在空间上的重复不一样(也就是水平波数)，当然振幅和初相位也不同。
　
　这里就可以引入相速度的概念，即同一相位的传播速度。对于固定深度的某一号简正波，其相位可以表示为ωt−krr\omega t-k_{r}rωt−krr，故其相速度为：
　cpn=wkr=c01−(kznk0)2c_{pn}=\frac{w}{k_r}=\frac{c_0}{\sqrt{1-(\frac{k_{zn}}{k_0})^2}}cpn=krw=1−(k0kzn)2c0
　对应的也就是该深度处该号简正波的传播速度。所以如果是单频声源，那么不同号简正波可以通过不同的传播速度区分开来。

宽带信号

如果声源的频谱是存在一定的带宽的，根据傅里叶变换对，信号可以写成多个单频的简谐波叠加的形式，对于简谐波依旧可以用简正波理论去进行研究。
　p(t)=12π∫ω0ω0+△ωp(ω)ejωtdωp(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\omega_0}^{\omega_0+\triangle \omega}p(\omega)e^{j\omega t}{\rm d \omega}p(t)=2π1∫ω0ω0+△ωp(ω)ejωtdω
　所以声场是由不同号简正波叠加形成，而每一号简正波又是通过不同频率的简谐柱面波叠加而成，这里选取某一号简正波来进行研究，我们知道它是由不同频率的简谐柱面波叠加得到的，所以可以进行傅里叶分解。
　pn(t,r)=12π∫ω0ω0+△ωS(ω)pn(ω)ejωtdωp_n(t,r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\omega_0}^{\omega_0+\triangle \omega}S(\omega)p_n(\omega)e^{j\omega t}{\rm d \omega}pn(t,r)=2π1∫ω0ω0+△ωS(ω)pn(ω)ejωtdωpn(ω)=2πkrnrφn(kznz0)φn(kznzh)e−jkrnrp_n(\omega)=\sqrt{\frac{2\pi}{k_{rn}r}}\varphi_{n}(k_{zn}z_0)\varphi_{n}(k_{zn}z_h)e^{-jk_{rn}r}pn(ω)=krnr2πφn(kznz0)φn(kznzh)e−jkrnr
　因为是同一号简正波，所以kznk_{zn}kzn相同，krnk_{rn}krn随频率而变，而S(ω)S(\omega)S(ω)则是频谱密度，仅与频率有关，与简正波号数无关。不同频率的简谐波叠加会有拍现象，形成波包：
　
　对叠加信号进行分解，将ω(kr)\omega(k_r)ω(kr)在kr0k_{r0}kr0处泰勒展开ω(kr)=ω0+dωdkr0(kr−kr0)\omega(k_r)=\omega_0+\frac{d \omega}{d k_{r0}}(k_r-k_{r0})ω(kr)=ω0+dkr0dω(kr−kr0)：
　f(t,r)=∫c(ω)ej(ωt−krr)dωf(t,r)=\int c(\omega)e^{j(\omega t-k_r r)}{\rm d \omega}f(t,r)=∫c(ω)ej(ωt−krr)dωf(t,r)=∫c(ω)ej(ω0+dωdkr(kr−kr0))te−j(kr0+kr−kr0)rdωf(t,r)=\int c(\omega)e^{j(\omega_0+\frac{d \omega}{d k_r}(k_r-k_{r0})) t} e^{-j(k_{r0}+k_r-k_{r0} )r}{\rm d \omega}f(t,r)=∫c(ω)ej(ω0+dkrdω(kr−kr0))te−j(kr0+kr−kr0)rdωf(t,r)=c(ω0)ej(ω0t−kr0r)∫ej(kr0−kr)(dωdkrt−r)dωf(t,r)=c(\omega_0) e^{j(\omega_0 t-k_{r0}r)}\int e^{j(k_{r0}-k_r )(\frac{d \omega}{d k_r}t-r)}{\rm d \omega}f(t,r)=c(ω0)ej(ω0t−kr0r)∫ej(kr0−kr)(dkrdωt−r)dωdωdkr∣kr=kr0=const\frac{d \omega}{d k_r}|_{k_r=k_{r0}}=constdkrdω∣kr=kr0=const
　个人理解，上式是信号的频带在较窄的情况进行线性展开的近似，前一项是调制，后一项是波包。是对这一号简正波的近似。
　由此引出群速度的定义：
　cgn=dwdkr=c01−(kznk0)2c_{gn}=\frac{dw}{dk_r}=c_0 \sqrt{1-(\frac{k_{zn}}{k_0})^2}cgn=dkrdw=c01−(k0kzn)2
　物理意义是该号简正波能量的传播速度，也可以理解为振幅的传播速度or波包的传播速度。相速度大于群速度，如果相位传过去了，但振幅没有传过去，能量还是没有传过去。

模间频散与模内频散

模间频散：不同号简正波的群速度不同，号数低的跑得快

模内频散：同一号简正波，频率高的跑得快(频率高的群速度大)
个人理解：
1.在推导群速度时用到了小区间内的泰勒展开，此时的角频率范围应该在[ω0−△ω,ω0+△ω][\omega_0-\triangle \omega,\omega_0+\triangle \omega][ω0−△ω,ω0+△ω]，其中△ω≪ω0\triangle \omega \ll \omega_0△ω≪ω0，而200-300Hz的频率区间显然过大，故将其分成很多个小区间，在小区间中进行泰勒展开，形成波包+调制的一个信号，整体的时域信号就是这些频率小区间上信号的叠加，所以会有模间频散的现象，即高频率的信号跑得快。

2.而又因为号数高的简正波在同一频率区间中群速度变化率大，所以模间频散的现象更加明显。

PS：做了一下仿真，频率区间范围越大，模间频散越厉害，那么上述理解应该对的。