概述

我们要研究的问题是：

用什么方法来描述光波导的传输特性。
光波导的参数如何影响其传输特性。

我们常说的光信号(光脉冲)，是由光载波和调制在光载波上的含有信息的包络共同构成的。

如果光波导的传输模型包含两边的广电转换部分的话，输入信号和输出信号都指仅含有信息的光脉冲的包络波形，通常用P(t)P(t)P(t)或∣E(t)∣2|E(t)|^2∣E(t)∣2表示，这相当于引入了一个调制、解调的过程。

此时它不再是一个线性系统(如果只有光纤的话就是一个线性系统)。那也就没法用线性系统的参数(比如带宽)来描述光波导的基带特性了。现在，影响传输特性的因素有：

光源。激光器的谱宽较窄，发光二极管的谱宽较宽。由于每个波长均可激发出一定的模式，因此严重影响光信号的传输特性。同时光源可能的啁啾也将严重影响传输特性。
光波导本身的结构对于传输特性的印象严重。
调制到光载波上的基带信号的波形及带宽也会影响其传输特性。也就说，不同类型的基带信号在同一光波导中传输时，其演化特性是有差别的。

光波导的传输特性包括：色散、损耗、非线性。
损耗：传输过程中光能量的损耗。
色散：使光信号的波形发生畸变，如果信号是一个脉冲信号，色散往往是使脉冲展宽且幅度下降，但总功率并没有损失。
非线性：光波导的非线性可能不会引起波形变化，但是会使光载频展宽，从而使光信号的总频带展宽。

在光波导中传输的是一个个模式，这些模式在同一时刻随着距离的变化将产生相移，故光波导是一个相移系统，会引起包络波形的变化。所以传输常数β\betaβ是描述传输特性最基本的参数β=F{ϵ(x,y),ω}\beta=F\{\epsilon(x,y),\omega\}β=F{ϵ(x,y),ω}要注意：

β\betaβ是针对于一个模式而言的，如果一根光纤中传输多个模式，每个模式都有一个β\betaβ。
β\betaβ既是光波导结构ϵ(x,y)\epsilon(x,y)ϵ(x,y)的泛函也是ω\omegaω的函数，且光波导结构ϵ(x,y)\epsilon(x,y)ϵ(x,y)也是ω\omegaω的函数。
模式可以分离变量成，传输常数β\betaβ与模式场(e,h)(e,h)(e,h)。而且一个模式的传输常数β\betaβ由模式场的分布形式(e,h)(e,h)(e,h)唯一确定。反之，如果β\betaβ因为某种原因变了，那么模式场的分布形式也肯定不是从前的样子了。

由于基带信号相对于光载频而言，带宽小得多，所以β(ω)\beta(\omega)β(ω)可以光频ω0\omega_0ω0为中心做泰勒展开β(ω)=β(ω0)+dβdω∣ω=ω0(ω−ω0)+12d2βdω2∣ω=ω0(ω−ω0)2+16d3βdω3∣ω=ω0(ω−ω0)3+...=defβ0+β0′(ω−ω0)+12β0′′(ω−ω0)2++16β0′′′(ω−ω0)3+...\beta(\omega)=\beta(\omega_0)+\left.\dfrac{d\beta}{d\omega}\right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}\left.\dfrac{d^2\beta}{d\omega^2}\right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0)^2+\newline \frac{1}{6}\left.\dfrac{d^3\beta}{d\omega^3}\right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0)^3+...\overset{\text{def}}{=}\beta_0+\beta'_0(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}\beta''_0(\omega-\omega_0)^2+\newline +\frac{1}{6}\beta'''_0(\omega-\omega_0)^3+...β(ω)=β(ω0)+dωdβ∣∣∣∣ω=ω0(ω−ω0)+21dω2d2β∣∣∣∣ω=ω0(ω−ω0)2+61dω3d3β∣∣∣∣ω=ω0(ω−ω0)3+...=defβ0+β0′(ω−ω0)+21β0′′(ω−ω0)2++61β0′′′(ω−ω0)3+...其中ω0\omega_0ω0是光载频。β0′,β0′′,β0′′′\beta'_0,\beta''_0,\beta'''_0β0′,β0′′,β0′′′会严重影响光波导的传输特性。

信号f(t)f(t)f(t)的频域变换记为F(Ω)e−jΩtF(\Omega)e^{-j\Omega t}F(Ω)e−jΩt，将信号调制到光频上得到F(Ω)e−j(Ω+ω0)tF(\Omega)e^{-j(\Omega+\omega_0) t}F(Ω)e−j(Ω+ω0)t，调制后的信号通过光波导变成F(Ω)e−j(Ω+ω0)tejβzF(\Omega)e^{-j(\Omega+\omega_0) t}e^{j\beta z}F(Ω)e−j(Ω+ω0)tejβz。对应的时域信号y(t)=12π∫−∞+∞F(Ω)ej[βz−(Ω+ω0)t]dΩy(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\Omega)e^{j[\beta z-(\Omega+\omega_0) t]} d\Omegay(t)=2π1∫−∞+∞F(Ω)ej[βz−(Ω+ω0)t]dΩ此外不仅仅信号包络会产生相移，光载波e−jωte^{-j\omega t}e−jωt也会产生相移。所以需要在接收端添加光频解调器ej(ω0t−β0z)e^{j(\omega_0 t-\beta_0 z)}ej(ω0t−β0z)(为什么这里用β0\beta_0β0不用β\betaβ呢？？？) 于是输出的解调信号为ϕ(t)=y(t)ej(ω0t−β0z)=12π∫−∞+∞F(Ω)ej[(β−β0)z−Ωt]dΩ\phi(t)=\frac{y(t)}{e^{j(\omega_0 t-\beta_0 z)}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\Omega)e^{j[(\beta -\beta_0)z-\Omega t]} d\Omegaϕ(t)=ej(ω0t−β0z)y(t)=2π1∫−∞+∞F(Ω)ej[(β−β0)z−Ωt]dΩ此外从y(t)y(t)y(t)的表达式也能看出，单个模式的传输特性不直接与模式场(e,h)(e,h)(e,h)的分布有关。

可得到3条结论：

由于ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)的表达式中(β−β0)(\beta -\beta_0)(β−β0)不为0(为0时，就是f(t)f(t)f(t)的傅里叶反变换了)，所以计算出的ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)有∣ϕ(t)∣ejθ|\phi(t)|e^{j\theta}∣ϕ(t)∣ejθ的形式。但是这个角度，不应该看成包络信号的相位，而应该看成光载波的附加相位。
ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)与f(t)f(t)f(t)并不成线性关系，不满足叠加原理。或者说输出光功率PoutP_{out}Pout与输入光功率PinP_{in}Pin不成线性关系。
输出信号(就是指的包络信号 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t))不直接与模式场的空间分布相关，它需要通过传播常数β\betaβ来起作用。所以如果模式场的空间变化并没有引起β\betaβ明显的变化就可以不考虑。

群时延

当传输常数β(ω)\beta(\omega)β(ω)只考虑β0+β0′(ω−ω0)\beta_0+\beta'_0(\omega-\omega_0)β0+β0′(ω−ω0)的影响时，得到ϕ(t)=f(t−β0′z)\phi(t)=f(t-\beta'_0z)ϕ(t)=f(t−β0′z)。这表明，输出光的包络信号是输入光的包络信号在时间上的延迟，而且这种延时与波形形状无关。每传播单位长度的距离，就有β0′\beta'_0β0′的延时，所以称β0′\beta'_0β0′是单位长度上的群时延，记为τ\tauτ.

光纤的这种时延特性可以用于制作延时器。通常群速度和相速度相差不大，所以1m长的光纤延迟5ns。

这是一个高斯信号传播的示意图(注意这是光信号的包络，称为波包)。由此可以看看出波包的传输速度为vg=1τ=1β0′v_g=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{\beta_0'}vg=τ1=β0′1这个速度就是群速度。

相速度的定义为vϕ=c/nv_\phi=c/nvϕ=c/n，其中n为折射率。类似可以定义群折射率 N=c/vgN=c/v_gN=c/vg

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