【声学基础】概述—

第四章.声波的基本特性

本章主要描述了理想流体媒质中声波的传播特性。注意，弹性媒质是声波传播的必要条件，理想流体媒质的弹性主要表现在体积改变出现的恢复力。

声波方程

首先考虑声波的三个基本物理量，声扰动产生的逾压，声扰动引起的密度变化量，以及媒质质点的振动速度。
取一媒质微元，列出其运动方程、连续性方程以及物态方程。在运动方程建立时，用到了牛二定律，因为牛二描述的是质点的运动规律，而其中的物理量加速度aaa也是质点的加速度，这实际是在拉格朗日坐标系下的结果，但是我们描述声场是基于空间位置的，对应于欧拉坐标系(配套场论的方法)。如果想得到欧拉描述下的力学方程，除了拉格朗日坐标系下的这一项，我们还需要减去一个用于抵消质点运动的对流项dv⃗dt=∂v⃗∂t+v⃗∇⋅v⃗\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\nabla \cdot \vec{v}dtdv=∂t∂v+v∇⋅v。在物态方程建立时应用了绝热假设(体积压缩和膨胀的时间远小于热传导需要的时间)，此时的媒质的压强和密度满足绝热方程，两边微分后即可得到声压与密度变化量的比值，该值即为声速c2=γPρc^2=\frac{\gamma P}{\rho}c2=ργP，它的物理意义就是媒质的压缩能力，即压强改变引起的密度变化量，若密度变化量越大，说明媒质的可压缩性越好，声波传得就会越慢。
当我们列出了声波的三个基本方程后，可以发现它们是非线性的，故我们假设三个基本物理量都是一级微量，然后对方程进行线性化。运动方程略去迁移加速度，运动方程和连续方程中密度使用静态密度，物态方程的声速用常数表示。线性化结果为就是小振幅的声波方程。线性声波方程经过消元即可得到声学波动方程。
可以发现速度场是一个无旋场，故引入速度势的概念，其物理意义是声扰动使媒质单位质量具有的冲量，速度势也满足波动方程。
解=波动方程+边界条件，自由空间中一般使用行波解来描述声场。

声阻抗率和媒质特性阻抗

由于空间声场中体积速度的含义不明确，故使用声阻抗率，即声压比质点速度。声阻抗率的实部代表能量的损耗(声能向远处传播)，虚部代表能量的贮存(势能与动能的不停转换)，注意，声阻抗率存在正负，和传播方向有关。
媒质特性阻抗定义为ρ0c0\rho_0c_0ρ0c0，媒质特性阻抗很大，所以空气中的消声手段放到水下就不行。

声场中的能量

声波的传递过程实质上是能量传递的过程。
取一微元，计算其动能以及势能(根据质量不变性质，两端微分)，得到微元的声能量，再除以其体积即可得到单位体积里的声能量，称为声能量密度。
代入平面波的声能量密度，可以发现能量是简谐变化的，即动能和使能是同相变化的。因为此时的系统非保守，能量是传递的。如果对声能量密度在时间上取一个平均，就可以得到平均声能量密度。
单位时间内通过垂直于声传播方向的面积SSS的平均声能量称为平均声功率。单位面积上的声功率就是声强，声强还可以用单位时间单位面积声波对前进方向上的毗邻媒质做的功去定义，即I=1T∫Re(p)Re(v)dtI=\frac{1}{T}\int Re(p)Re(v){\rm dt}I=T1∫Re(p)Re(v)dt(速度连续)。注意，声强和声功率都是时间上平均的概念，反应的是能量传递的概念，声强有方向，与电磁波中的坡印亭矢量是很类似的。

声波的反射、折射与透射

这里主要以平面波为例来分析声波在两种不同媒质界面上的反射、折射、透射问题。因为无论是什么波，都可通过角谱法分解成平面波叠加的形式，研究平面波的与研究单频信号的本质是相同的。
接下来讨论声学边界条件，取分界面处的一无穷小质量元，故根据牛二定律，其两端受力一定相等，故声压连续。又可知分界面不可分离形成真空，故法向速度连续。
首先分析平面波垂直入射的情况，假设一个反射波和透射波，在分界面上应用边界条件，可以计算得到反射系数rpr_prp和透射系数tpt_ptp，针对绝对硬的边界，此时分界面速度为0，对应声压的波腹、速度的波节，针对绝对软的边界，此时分界面声压为0，对应声压的波节，速度的波腹，这两种情况能量都无法透射过去，因为声强为0。其实，发生反射的本质是声阻抗率不连续。
然后来分析声波斜入射的情况，此时为了描述声波的传播方向，引入波矢k⃗\vec{k}k，此时k⃗⋅r⃗\vec{k}\cdot \vec{r}k⋅r为位矢在波阵面上的投影。同样，在分界面处应用边界条件，可以得到反射系数rpr_prp和透射系数tpt_ptp，只不过原来的声阻抗率变成了法向声阻抗率(声压除法向速度，即原来的声阻抗率除cosθcos\thetacosθ)。此外，还得到了snell定律，即水平波数连续(水声里叫声线向声速小的地方弯曲)。斜入射会存在几种特殊的情况，满足一定条件时，在某一个入射角θ0\theta_0θ0会发生全透射；当介质2的声速大于介质1的声速时，当入射角大于临界角θic\theta_{ic}θic时，会发生全反射，此时反射波存在一个相位跃变，且反射系数幅值为1，声能量全部反射回来了，这里的透射系数似乎没有意义了(没有透射波的存在)；而当入射角为90°时，一定会发生全反射，此时称为掠入射。
注意，这里经常会直接用声压反射系数模的平方∣rp∣2|r_p|^2∣rp∣2来直接表示声强反射系数rI=∣rp∣2r_I=|r_p|^2rI=∣rp∣2，以及声强透射系数tI=1−∣rp∣2t_I=1-|r_p|^2tI=1−∣rp∣2，这两个公式的前提是平面波。还有一个需要注意的概念是抗对应的是能量贮存，它内部的能量会不断进行转化，而声强对应的是能量传递or流动的概念，抗并不能对声强进行分流，即它的声强是0。
最后来分析垂直入射的声波透过中间层(在中间插了一层)的情况。这里有两种方式可以求解，一是设出各层的入射波、反射波，然后在两个分界面上用边界条件，这里求得tpt_ptp后取模平方即得tIt_ItI，二是利用阻抗转移公式，将阻抗一层一层转移，后求出rpr_prp利用能量守恒得到tIt_ItI。注意，这里似乎不能阻抗转移时似乎不能求出tpt_ptp，还有待研究。下面来讨论声强透射系数tIt_ItI随频率特性，当中间层厚度DDD为λ4\frac{\lambda}{4}4λ的奇数倍时达到谷值，当中间层厚度DDD为λ2\frac{\lambda}{2}2λ的倍数时达到峰值，也就是说其频响特性是峰-谷-峰-谷……这样下去的，低频时全透，高频时有一系列谷点，从这里也能看到低频的隔声难于高频。这里添加中间层来隔声的与后面添加突变界面管的作用是相同的，包括tIt_ItI频率特性的变化规律都是一样的，中间层改变媒质特性阻抗来改变声阻抗，突变界面管改变截面积来改变声阻抗，这里的隔声都是基于反射的，称为抗性消声，所以说，反射的本质就是声阻抗不连续，而反射波存在的目的就是使空间中声阻抗处处连续。

声波的干涉

干涉是两列频率相同，相差恒定的声波在空间上的叠加，某些位置振动始终加强(干涉相长)，某些位置振动始终减弱(干涉相消)，本质就是空间上能量的重新分配。
频率不同的声波到达空间某一位置，其交叉项是不同频率的乘积，经过时间一平均就没了；相位差不恒定的声波到达空间的某一位置，其交叉项里包含一不恒定的相差，经过时间一平均也就没了；故非相干波不会出现干涉，空间各点的平均声能量密度为各自的平均声能量密度之和，噪声就是这类声源。

第五章.声波在管中的传播

本章主要简述了声波在管道中的传播特性。管道是平面声波传播的一种良好的环境，管道也可以增强辐射效率。

声波导管理论

首先分析三维矩形波导管(xy封闭，z无限延伸)，考虑单频信号，波动方程退化成亥姆霍兹方程，然后分离变量求解，存在边界的方向是驻波形式，无限延伸的是行波形式。三个方向波的波数是有耦合关系的，即kx2+ky2+kz2=k2k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2kx2+ky2+kz2=k2。又因为xy方向存在边界，故kxk_xkx和kyk_yky只能取一系列离散值，如果取得过大，kzk_zkz就会变成虚数，此时z方向上的行波就不能传播。经上述分析，可能会存在一系列的(kx,ky)(k_x,k_y)(kx,ky)使得z方向存在可传播的行波，这就是各号简正波，记各号简正频率为fnm=c02πkx2+ky2f_{nm}=\frac{c_0}{2\pi}\sqrt{k_x^2+k_y^2}fnm=2πc0kx2+ky2。为了使物理图像更加清晰，我们仅考虑(kx,0)(k_x,0)(kx,0)这类情况，此时y方向幅值处处相等，x方向呈现出余弦式的幅值分布，号数越高的简正波空间重复率越高。考虑下为什么一定是余弦，且一定是半波长的整数倍？因为边界条件是硬边界，法向速度为0，根据运动方程，声压关于xxx的导数一定是0，只有余弦函数满足条件。在最前面我们提到了管道是平面波传播的一种良好环境，由上面的分析就可以看出，如果频率很低(kkk很小)，此时kxk_xkx和kyk_yky只能取0，这样就可以得到平面波了，故称除0之外最低的简正频率为截止频率，当声源的频率小于截止频率时，只能激发出平面波，否则会有多号简正模态，这里还有注意，简正波的号数只影响垂直方向的幅值分布，不能和振动频率ω\omegaω混淆。
波导中各号简正波存在两个很重要的“速度”——相速度和群速度。相速度，即相位传播的速度，其表达式为cp=ωkzc_p=\frac{\omega}{k_z}cp=kzω。对于某一号简正波，因为x方向的驻波可以分解两个反向的行波，故实际的波阵面是倾斜于水平轴的，但接收器是水平轴上的，所以会出现相速度大于声速的情况。群速度，一定要明确讨论群速度的前提是声源是宽带的，物理本质是能量的传播速度(或者理解为波包的传播速度)，其表达式为cg=dωdkzc_g=\frac{{\rm d \omega}}{{\rm d k_z}}cg=dkzdω。推导思路就是在某一个频率附近对利用傅里叶逆变换将声压表达式写成简谐信号叠加的形式，在该频率处对ω(kz)\omega(k_z)ω(kz)在其中心位置kz0k_{z0}kz0进行泰勒展开，取一级近似量，然后可以分解反应中心频率处的一个简谐平面波和一个积分项的乘积，积分项反应的就是波包，波包的传播速度为即群速度。当相速与频率有关时称为色散现象，这里的kzk_zkz本质反映的就是频率，因为对于某一号简正模态kxk_xkx和kyk_yky是固定值。(详细推导见【波导】——理解群速度和相速度)
如何求解各号简正波前面的系数？同前面振动体各号模态的系数一样，因为声源的速度和接触面上的介质速度肯定是连续的，故利用声源的速度振幅作为初始条件进行求解即可。注意我们这里讨论的是单频结果，宽带需要先做个傅里叶变化变成单频叠加的形式再进行上述操作。
然后我们来讨论圆柱型声波导管中的声场，这里就是柱坐标系下的模态展开，利用分离变量法可以得到径向是m阶柱贝塞尔函数，即驻波，不同极角的幅值分布也不同，水平轴上则为行波形式。这里的边界条件同样是法向速度为0，所以要找到贝塞尔函数的一系列导数为0的点，这里简正波的号数(m,n)中m代表贝塞尔函数的阶数，而n代表该阶贝塞尔函数的第几个导数为0的点。而这里的截止频率是(1,0)对应的简正频率，因为1阶贝塞尔函数的第一个导数为零的点最小。如果声场是轴对称分布的情况，则径向为0阶贝塞尔函数分布。

阻抗转移公式

如何考虑管的末端声负载对管入口声源振动的影响？即使用阻抗转移公式。推导也很比较容易，设出入射波和反射波，利用管末端的声负载值得到入射波和反射波幅值的关系，然后代入管口，即可得到管口的等效声阻抗。
阻抗转移公式应用广泛，多同层墙、多个中间插管都可以用，且计算起来非常方便。
小知识点：声源前加一个四分之一波长奇数倍的管子，能够大大提高辐射功率。

均匀的有限长管

对一个有限长管，末端是声负载，利用驻波法可以求得反射系数。关键是测得管中声场的声压最大值和最小值，得到驻波比，然后再推算出反射系数的幅值。再通过测量第一个最小值的位置，可以得到反射系数的相位。
测得反射系数后，可以利用反射系数公式推出末端声阻抗。
根据能量守恒，入射波的能量一部分流向了反射波，另一部分被声负载吸收了，故rI=1−∣rp∣2r_I=1-|r_p|^2rI=1−∣rp∣2，算出解析式可以发现，当声负载共振时(抗为0)，吸声系数最大。个人理解：因为入射波是平面波，声阻抗为常数，故负载抗越大，此时阻抗失配越大，反射波越强，吸声就越小。书上还选取了亥姆霍兹共鸣器作为声负载为例，进一步说明了在亥姆霍兹共振频率处吸声最大，且若声阻与平面波匹配，则吸声系数为1，此后定义了吸声结构的品质参数Q=ωMRQ=\frac{\omega M}{R}Q=RωM，品质参数越大，则吸声带宽越窄。

突变截面管

首先来分析突变截面管的声学边界条件，由于横截面积发生了变化，所以速度连续不再成立，边界条件转变成了声压连续+体积速度连续(低频下(保证平面波)的近似，两端都进行模态展开，此时再利用速度连续，直流项相等即为体积速度连续)。
反射系数和透射系数可以用第四章中给出的公式求得，这里是通过改变截面积去改变声阻抗，同前面的改变媒质不同。
分析中间插管的传声特性，利用阻抗转移公式可以求得声强透射系数，其实可以预想的到，与中间墙的透声表达式非常类似，只不过中间墙用的是媒质阻抗特性之比，中间插管用的是截面积之比，两者反应的都是阻抗失配的程度。故其频率特性也为峰-谷-峰…对一些频率会有一些滤波作用，注意这类的消声只是将声波反射回去，不消耗声能，故称之为抗性消声器。为了拓宽消声的频率范围，可采用插入多节扩张管，每节管的宽度不同，例如一节扩张管的截止带对应另一节扩张管的通带，以此相互补偿。注意，若频率很低时，要从集中参数系统考虑，即画出电力声类比图进行分析。

有旁支的管

若管道中存在一些旁支，则也会对声传播造成一定的影响，这里考虑旁支管尺寸远小于波长的情况，即可看成一点(处于同一相位面上)。利用声压连续和体积速度连续列出方程，注意这里体积速度会进行分流，一部分流入旁支管，一部分透射。根据方程组可以画出等效线路图，然后直接求解声压透射系数tpt_ptp，因为透射波也是平面波，所以声强透射系数tI=∣tp∣2t_I=|t_p|^2tI=∣tp∣2，而声压反射系数rp=tp−1r_p=t_p-1rp=tp−1，根据能量守恒，吸收系数α=1−∣tp∣2−∣rp∣2\alpha=1-|t_p|^2-|r_p|^2α=1−∣tp∣2−∣rp∣2，根据解析式可以发现，当旁支管共振时(抗为0)，吸收系数最大，且当声阻为平面波声阻的一半时，吸声系数最大，为二分之一，此时剩下的四分之一透射，四分之一反射。如果旁支管声阻为0，则在共振频率处，透射声强为0，能量全部反射回去，故也是抗性消声器。

截面积连续变化的管(声号筒)

针对无限长指数型号筒，高频时，其入口辐射阻接近于平面波声阻，故能够大大提高辐射效率；但存在一个截止频率，若频率过低时，辐射阻转变为抗，号筒无法传输声波。

Reference：
杜功焕.声学基础(第三版)[M].南京大学出版社