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在前面的文章中，我们介绍了空间几何内的欧拉定理及其扩展，上一篇中又讲到了平面几何欧拉定理，相关内容请戳：

扒一扒那些叫欧拉的定理们（四）——平面几何欧拉定理美学鉴赏

扒一扒那些叫欧拉的定理们（三）——简单多面体欧拉定理的抽象形式

扒一扒那些叫欧拉的定理们（二）——简单多面体欧拉定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（一）——基本介绍和简单多面体欧拉定理

今天我们接着上一讲的内容，来看看平面几何欧拉定理的证明过程，以及其中的数学智慧。

平面几何欧拉定理的思路分析与证明

平面几何欧拉定理

如下图所示，三角形外心与内心的距离d可表示为：d ^ 2 = R(R - 2r)，其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。

图1 平面几何欧拉定理图

设三角形为ABC，外心为O，内心为I，其R和r代表的长度如图所示。

内心和外心别看画上去是两个孤零零的点，其实一旦做出辅助线来有着众多的相等边和角的关系。因为本身就是作了角平分线、中垂线来的，这些都是潜在被抹掉的辅助线，根据需要随时恢复。比如我们这里至少要连接AI，并延长到与圆弧相交于L，内心给出了相等角，并且在外心对应的外接圆上转化成了相邻边。至于O，到ABC距离都相等，到时候再看，不过至少我们IO = d这根线得连上。

有了这些基本的辅助线以后，我们不妨来看下结论的形式，我们知道，除了勾股定理，射影定理，平面几何定理中是不会出现平方这样的形式的，除非是面积，或者由某对有公共边的相似三角形的比例关系转化而来，又或是黄金分割。而在欧拉定理这个公式里，等式右边其实是R ^ 2 - 2Rr。这么写是因为R - 2r这个是在是不好凑，2r倒是可以是任意一条内切圆直径，但是和R对应的线段毫无关系。

写开以后我们可以发现等式两边都有平方，移项之后可以自然地使用平方差公式。（这里就暂时别联想什么勾股定理了，因为即使凑出来了直角三角形，剩下那个平方项还是要另外处理。）于是待证明定理等价于：

(R + d)(R - d) = 2Rr

R + d不就是IO延长到与外接圆O相交于Q的IQ，R - d不就是OI延长到与外接圆O相交于P的IP么？于是，定理直接转化为：

IP * IQ = 2R * r

这已经很像一个证明了三角形相似以后把比例换成乘积的形式了，不过，仔细考察这些线段，哪怕r，R，2r，2R可以灵活选择，也找不到他们组成三角形的办法。还得继续观察转化，还真又发现了奥秘：

其中IP和IQ是弦的分割的乘积，在圆上通过相交弦定理随便就可以转化走，有：

IP * IQ = IA * IL

于是只需要证明

IA * IL = 2R * r

作ID垂直AB于D，ID即为内切圆半径r，IA和r对应的ID组成了三角形AID，只剩下2R和IL没有着落。

这时还有两个线索，一个是确定2R使用哪条直径，另一个是去找可能和AID相似的三角形。

于是，我们可以看到角DAI = 角BAL，且是个外接圆O的圆周角。再找到一个圆周角就有相等角，然后通过直径对应的圆周角也是直角的那个三角形就一定与之相似了！

直径在哪呢？得从B和L中的一点出，事实是随便哪个都行，这里我们连接LO并延长与外接圆O交于M，于是我们有三角形AID相似于三角形MLB，于是有：

IA * BL = ID * ML，其中，ML = 2R

于是，再度比较此式子和结论的差异，我们只需要证明一点，就要大功告成了：

BL = IL

如果思路都正确，推导也无误的话，最后画龙点睛这一步就不难了。BL和IL同处在一个三角形里，自然转化为证明等腰三角形的底角相等即可：

角LBI = 角LIB

这时候，内心的作用终于体现出来了，很早作的AL辅助线也其作用了，再加上三角形外角等于另外两内角和的公式，我们需要证明：

角LBC + 角CBI = 角IBA + 角IAB

而角LBC = 角LAB = 角IAB，角CBI = 角IBA

于是此结论成立，原命题得证。

平面几何欧拉定理的思考收获

其实我本来写上面这个部分只是想提示出大体的思路框架，再由正向的方式来推导结果，但写着写着就发现基本上已经把证明写完了。这种分析式的证明方法本身也是有效的，直接作为答卷写都可以，其思路是不断应用一些结论来化简待证明的结论，得到其在这些已知条件或结论下的等价形式，直到这个等价形式变得十分简单和显然，或本身就是像0 = 0这样的恒等式为止。

这种思维本质上就是个化归的过程，只不过这比纯数学归纳法要难得多，因为那里只是问题规模的归约，而这里，问题化简的方向是不一定的，甚至形式上变简单的式子可能是错误的化归方向，无法得到结论，有时候甚至还有化归到更复杂的问题上去才能得以解决。中间可能需要不断地试错，经验，理论的各种汇集才能解决问题。这就像一个等价问题的栈一样，不断把原问题在用上新的条件和性质以后的等效问题压入栈中，直到最后一个问题被解决，那出栈过程便是自动的了，也没必要再写一遍了。而且，顺着写的思路，反而抹去了思考分析过程，体现不出化归的思路来，就学习而言，这种形式的证明更能体现证明的想法和过程。当然，我们也要有能力自己把它转化成一步步证明一个个正确的结论到慢慢复杂化到需要问题的能力，只不过，这并不是真的思维过程，而是思维结果。真的思维过程，应该都是逆向的，即，从要的结果出发，导出原因来。

我从今天的视角来看，它的思考过程就如上面证明欧拉定理的这个过程一样，是个不断尝试，转化，再尝试，再转化，直到结论变得显然地这样一个化归的过程。最后这个思维链条可以自动地退栈，以证明最开始的结论。这种思考问题的方法的定型我想平面几何证明的训练占了比较大的贡献，感谢欧拉等一众数学家们提供的宝贵的数学财富，在我的少年时代滋养培育着我。

这么多年过去了，之前做的那一大叠一大叠的包括平面几何在内的数学题，奥数题，思维题也忘得差不多了，大多数人以后也不会直接从事这个行业。但是之前留下的思维习惯，比如转化，严谨，分类，一一对应，不变量，都像模子一样地刻在了心里，在每日每夜应对长大了以后的各种问题的时候，都散发着他们潜在的力量，一辈子地厚积薄发。

有时候，爱数学的人会有一个毛病，因为思维太过于抽象，导致对真实发生的，具体事物的规律和实践反而不够重视，导致闹很多笑话，比如分不清甜甜圈和茶杯这种。而有数学思维那是一种能力，能够立马像临床医生一样救命，像小学老师一样搞定哭闹的孩子，又是另一种能力，一种在错综复杂的实际状况面前解决实际问题的能力。我们可以不擅长，但不能有短板和缺陷。

好了，平面几何欧拉定理证明相关内容就说到这里。

在我总结整理欧拉定理相关的内容时候，就发现了很多旁的内容，就像走在丛林中，除了想到达目的地，四周也到处是可以挖掘的宝藏。尤其是互联网的存在，世界就在我眼前，有心人都能得到他想要的。

比如我在写平面几何欧拉定理这个部分的时候，偶然又发现了欧拉线（真是要吐了，哪哪都是你）的概念和相关的九点圆的定理，这些内容我也依稀记得之前有接触过，再看起来也是倍感亲切。欧拉定理的证明我相信你还没看过瘾（其实是我还没写过瘾），接下来的文章，我们会继续介绍一下欧拉线定理以及九点圆定理的内容和给出证明和思考，敬请期待。

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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