数学教材的一大特点是不说人话，劝退率比较高。

其实严谨点儿的确是好事儿，但太严谨了会导致可读性降低，反倒本末倒置。

所以我个人感觉，学数学这玩意儿最好一门分出两本教材出来。一本不太严谨的给萌新用，另一本严谨的用作进阶补遗用。

不然的话，除了把数学搞成少数精英的游戏外，毫无助益。我们要精英，但我们也需要推广普及。

先说插值法。插值法是做什么用的？插值法是通过已知点，求过这些点的未知函数的数学方法。

所以我们输入的，是一堆点，也就是一堆x和一堆y。

我们想要得到的，是一个函数，这个函数能完美的通过这一堆x和这一堆y。

那你要怎么解决这个问题呢？说白了很简单，就是一个开开关的问题。

这就是拉格朗日插值法的想法。

比如说我给你三个点，让你求出一条过这三个点的未知函数。只要是函数，就能写成y=f(x)型。

那这三个点肯定要满足这个条件(废话这是题设给的)：

第一个点的y=f(第一个点的x)

第二个点的y=f(第二个点的x)

第三个点的y=f(第三个点的x)

这函数可能实现吗？可能。我们可以用这种开开关的方式来实现他。

我们都知道数学里面有一个小学生都知道的道理：0乘任何数都是0，1乘任何数都不变。

感觉很蠢对吧。但这就是拉格朗日插值法的精髓所在：我们想办法对每个x构建一个“开关”；当x为指定条件的x值时，把指定条件的x值的“打开”(置为1)，把其余非指定条件的x值的开关“关上”(置为0)。这样的话，我们做一个简单的加和，就能让函数输出我们想要的y值，进而得出这未知的函数了。

这“开关”的学名叫什么？就叫插值基函数。

所以我们用这个看上去特弱智的方法，来解决问题。做拉格朗日插值：

第N个点的y = 基函数1×第1个点的y + 基函数2×第2个点的y + 基函数3×第3个点的y

假如说我们想在这个函数中，让 第2个点的y=f(第2个点的x)，那么就有：

第N个点的y(N取2) = 基函数1【关闭】×第1个点的y + 基函数2【打开】×第2个点的y +基函数3【关闭】×第3个点的y

我们一开始就假设了，基函数【关闭】的时候就是0，基函数【打开】的时候就是1。

换句话就是：

第N个点的y(N取2) = 0×第1个点的y + 1×第2个点的y + 0×第3个点的y

即

第N个点的y(N取2) = 第2个点的y

可见这个函数运作正常。

那么接下来就是这个“开关”的问题了。这个“开关”要怎么构建呢？

我们又想到一个特别弱智的方法(没错，数学很简单，你不要把他想复杂了)：

——任何数除自己都是1，零除任何数都是0。

那么我们可以把各个“开关”分别写出来，以第二个开关为例：

基函数状态=(输入X-第一个点的x)(输入X-第三个点的x) / (第二个的点x-第一个点的x)(第二个点的x-第三个点的x)

你自己算一下，就会发现这个基函数构造的很有趣。

——当你输入X值为第一个，第三个点的x值时，你会发现分子直接等于0，于是“开关关闭”，基函数的值为0。

——当你输入X值为第二个点的x值时，你会发现分子分母是相同的，于是“开关打开”，基函数的值为1。

所以我们最后总结一下，拉格朗日插值法是怎么做出来的？

先给定三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，构造函数：

拉格朗日插值函数= 开关1×y1 + 开关2×y2 + 开关3×y3

其中标黑的y1，y2，y3都是已知值。只需求三个“开关”的表达式即可。

而相应的“开关”表达式为：

第N个开关 = (未知量X-一个非N处值x)(未知量X-另一个非N处值x) / (N处值x-一个非N处值x)(N处值x-另一个非N处值x)

其中标黑的N处值x和非N处值x都是已知值。分别求出三个开关的表达式，并带回原式。至此，整个函数就变成了一个y=f(x)型，拉格朗日插值法结束。

这种“开开关”的想法，就是拉格朗日插值法的思路了。

当然最后还要补充一点，答主前文所说的“简单”“弱智”，都是为了让读者放松心态用的。很多看似很简单的数学工具的建立，是不费尽一番心血无法达成的。学数学的时候，要战略上藐视敌人，战术上重视敌人；同时，在学懂了这些数学工具的时候，对前人的敬仰便会油然而生，而绝不是崇拜迷信，亦或是傲慢自矜了。

以上。感谢您的阅读。