对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

其中

对应着自变量的位置，而

对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个

为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数)，其表达式为：

拉格朗日基本多项式

的特点是在

上取值为1，在其它的点

上取值为0。

范例

假设有某个二次多项式函数

，已知它在三个点上的取值为：

要求

的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

然后应用拉格朗日插值法，就可以得到

的表达式(

为函数

的插值函数)：

此时代入数值

就可以求出所需之值：

。

证明

存在性

对于给定的k+1个点：

，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点

取值为1，而在其他点取值都是0的多项式

。这样，多项式

在点

取值为

，而在其他点取值都是0。而多项式

就可以满足

在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：

它在点

取值为：

。由于已经假定

两两互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在

取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：

这就是拉格朗日基本多项式。

唯一性

次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：

和

，它们的差

在所有k+1个点上取值都是0，因此必然是多项式

的倍数。因此，如果这个差

不等于0，次数就一定不小于k+1。但是

是两个次数不超过k的多项式之差，它的次数也不超过k。所以

，也就是说

。这样就证明了唯一性

几何性质

拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式

(由某一组

确定)可以看做是由次数不超过n的多项式所组成的线性空间：

的一组基底。首先，如果存在一组系数：

使得，

，

那么，一方面多项式P是满足

的拉格朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。所以

。

这证明了

是线性无关的。同时它一共包含n+1个多项式，恰好等于

的维数。所以

构成了

的一组基底。

拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的(都是n次多项式)。

优点与缺点

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差(如右下图)龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

重心拉格朗日插值法

重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用多项式

拉格朗日插值法的数值稳定性：如图，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差(图中的14至15中间)

可以将拉格朗日基本多项式重新写为：

上面的表达式可以简化为：

于是拉格朗日插值多项式变为：

即所谓的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改进拉格朗日插值公式。它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个

都除以

，就可以得到新的重心权

，计算复杂度为

，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度

降了一个量级。

将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数

插值，可以得到：

因为

是一个多项式。

因此，将

除以

后可得到：

这个公式被称为重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式。它继承了(1)式容易计算的特点，并且在代入x值计算

的时候不必计算多项式

切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小

参考来源

69: 59–67.

(英文)E. Meijering. A chronology of interpolation: From ancient astronomy to modern signal and image processing,. Proceedings of the IEEE: 323.

(英文)Julius Orion Smith III. Lagrange_Interpolation. Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University.

22 (5): 447–453.

The numerical stability of barycentric Lagrange Interpolation. IMA Journal of Numerical Analysis. 2004, 24 (4): 547–556.

(中文)李庆扬，王能超，易大义. 《数值分析》第4版. 清华大学出版社. 2001. ISBN 7-302-04561-5.

(中文)冯有前. 《数值分析》. 清华大学出版社. 2001. ISBN 7-810-82495-3.

(中文)拉格朗日插值多项式. 太原理工大学.