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2. 文法和语言

一个程序设计语言是一个记号系统，如同自然语言一样，它的完整定义应该包括语法和语义两个方面，所谓一个语言的语法是指一组规则，用它可以形成和产生一个合适的程序

语言是定义在一些有限字母表上的

语言是一个层次化的记号系统，有字母表上的字母按照一定的规则构成单词，由单词按照一定的规则构语句和文章

2.1 概念

2.1.1 语法(文法)

描述词法规则和语法规则的工具是文法

1) 词法规则

语言中具有独立意义的最基本结构。

– 词法规则规定了字母表中那些字符串是单词符号。

– 单词符号一般包括：常数、标识符、基本字、算符、界限符等。

– 我们用正规式和有限自动机理论来描述词法结构和进行词法分析。

2) 语法规则

– 表达式、子句、语句、函数、过程、程序

– 规定了如何从单词符号来形成语法单位。

– 现在多数程序语言使用上下文无关文法来描述语法规则。

– 语言的词法规则和语法规则定义了程序的形式结构，是判断输入字符串是否构成一个形式上正确的程序的依据。我们通过建立一组规则，来描述句子的语法结构。规定用“::=”表示“由……组成”。

例如：
<句子>::=<主语><谓语>
<主语>::=<代词>|<名词>
<代词> ::=你|我|他
<名词>::= 王民|大学生|工人|英语
<谓语>::=<动词><直接宾语>
<动词>::=是|学习
<直接宾语>::=<代词>|<名词>

2.1.2 语义

对于一个语言来说，不仅要给出它的词法、语法规则，而且要定义它的单词符号和语法单位的意义。

– 离开语义，语言只是一堆符号的集合。

– 各种语言中有形式上完全相同的语法单位，含义却不尽相同。

– 对某种语言，可以定义一个程序的意义的一组规则称为语义规则。

– 目前，大多数编译程序使用基于属性文法的语法制导翻译方法来分析语义。

2.1.3 语法规则符号相关概念

(1)非终结符

– 出现在规则的左部、用<>括起来、表示一定语法概念的词。

– 非终结符集合用VN表示。

(2)终结符

– 语言中不可再分割的字符串(包括单个字符组成的串)。注：终结符是组成句子的基本单位。

– 终结符集合用VT表示

(3)开始符号

– 表示所定义的语法范畴的非终结符。

– 注：开始符号又称为识别符号。

(4)产生式

– 是用来定义符号串之间关系的一组(语法)规则。

– 形式：A → α （A产生α ）

(5)推导

– 推导是从开始符号开始，通过使用产生式的右部取代左部，最终能产生语言的一个句子的过程。

– 最左（右）推导：每次使用一个规则，以其右部取代符号串最左（右）非终结符。

注：最左推导和最右推导称为规范推导

(6)归约

– 归约是推导的逆过程，即，从给定的源语言的句子开始，通过规则的左部取代右部，最终达到开始符号的过程。

– 最左(右)归约是最右(左)推导的逆过程。

– 注：最左归约和最右归约称为规范归约

(7)句型、句子和语言

• 句型：

  – 句型是从文法的开始符号S开始，每步推导（包括0步推导）所得到的字符串α。

  – 记作：S α，其中α ∈ （VN∪ VT ）*

• 句子：是仅含终结符的句型

(8)文法规则的递归定义

– 非终结符的定义中包含了非终结符自身。

– 使用文法的递归定义要谨慎

(9) 文法规则的扩充表示

扩充的BNF表示

BNF的元符号： <, >, ::=, |
扩充的BNF的元符号： <, >, ::=, |, {, }, [, ] (, )
1.{ t }：t可重复连接0到任意多次。如果有限制（上标m，下标n），则可重复连接n到m次。
2.[ t ]：t可有可无。
3.( )：元符号，注意不要与Vt混淆。

• () ——提因子

  例:把U→ax|ay|az 改写为U→a(x|y|z)

• {} ——重复次数的指定

  例：<标识符>→<字母>{<字母>|<数字>}50.

• [] ——任选符号

  例:<整数>→[+|-]<数字>{<数字>}

(10)元语言符号

用来说明文法符号之间关系的符号，如，“→”和“|”称为元语言符号

例题

有了一组规则之后，可以按照一定的方式用它们去推导或产生句子。
推导方法：从一个要识别的符号开始推导，即用相应规则的右部来替代规则的左部，每次仅用一条规则去进行推导。
<句子> => <主语><谓语>
<主语><谓语> => <代词><谓语>
…… ……
这种推导一直进行下去，直到所有带< >的符号都由终结符号替代为止。
说明：
(1) 有若干语法成分同时存在时，我们总是从 最左的语法成分进行推导，这称之为最左推导。类似地还有最右推导（一般推导、规范推导）。
(2) 除了最左和最右推导，还可能存在其它形式的推导。
(3) 从一组规则可推出不同的句子

2.1.4 总结

• 任何语言程序都可以看成是一定字符集（字母表）上的字符串。

• 语法使得这串字符形成一个形式上正确的程序。

• 语法＝词法规则＋语法规则

• 例如：0.5x1+c

  – 0.5、x1、c、*、+是语言的单词符号

  – 0.5*x1+c是语言的语法单位

2.2 字母表与符号串(单词符号)

2.2.1 概念

名称	概念
字母表	– 是符号的非空有穷集合。 – 用Σ、V表示。
符号	是语言中最基本的不可再分的单位。
符号串	– 符号串是字母表中符号组成的有穷序列。 – 空串：不含有任何符号的串称作空串，记作ε。
句子	字母表上符合某种规则构成的串。
语言	字母表上句子的集合

2.2.2 符号串集合的运算

1) 连接（乘积）运算：

若串集A={α1， α2， …}，串集B={β1,β2， …}，则乘积AB={α β| α ∈ A and β ∈ B}

注：1）串集的自身乘积称作串集的方幂

2）A0={ε}

3）字母表A的n次方幂是字母表A上所有长度为n的串集

例如：串集A＝{a}的各次方幂定义为：

A0={ε}

A1=A={a}

……

An=AAn-1(n>0)={a…a}

2) 字母表的闭包与正闭包⭐️

a. 字母表A的闭包（A*）：

A*=A0∪A1∪A2∪…

即：由A上符号组成的所有串的集合（包括空串ε ）。

例题:(a,b)∗代表w∈{ε,a,b,ab,aa,bb,....}例题:(a,b)^* 代表 w\in \{ε, a,b,ab,aa,bb,....\}例题:(a,b)∗代表w∈{ε,a,b,ab,aa,bb,....}

b. 字母表A的正闭包（A+）：

A+= A1 ∪A2∪ …=A*-{ε}

即：由A上符号组成的所有串的集合（不包括空串ε ）。

c. 语言: 是字母表上符合某种规则的语句组成的。

– 字母表上语言：是字母表上正闭包的子集

2.3 文法和语言的形式定义

1.文法定义

从形式上说文法G是一个四元式(VN,VT,P,S)从形式上说文法G是一个四元式(V_N,V_T,P,S)从形式上说文法G是一个四元式(VN​,VT​,P,S)

文法G=（Vn，Vt，P，Z）G =（V_n，V_t，P，Z）G=（Vn​，Vt​，P，Z）

• Vn：非终结符号集
• Vt：终结符号集
• P：产生式或规则的集合
• Z：开始符号（识别符号） Z∈Vn

注：
①V＝Vn ∪ Vt 称为文法的字汇表
②规则：规则是一个有序对(U, x), 通常写为 U ::= x 或U→x（其中U∈Vn, x∈V* 因此也有|U| = 1且|x| >= 0）
③给定一个文法，实际只需给出产生式集合，并指定识别符号。（识别符号一般约定为第一条规则的左部符号）

例：无符号整数的文法：
G[<无符号整数>]=（Vn，Vt，P，Z）
Vn＝{<无符号整数>,<数字串>, <数字>}
Vt = { 0, 1, 2, 3, … 9 }
P = {<无符号整数> → <数字串>
<数字串> → <数字串> <数字>
<数字串> → <数字>
<数字> →0
<数字> →1
…………
<数字> →9 }
Z = <无符号整数>

2.推导定义

一步推导：

注：当符号串已没有非终结符号时，推导就必须终止。因为终结符不可能出现在规则左部，所以将在规则左部出现的符号称为非终结符号。

多步推导：

任意步推导：

规范推导：

直观意义上：规范推导＝最右推导

3.语言定义

对于文法G[Z]：
（1）句型x：由开始符号Z经任意步推导得到x，且x∈V*；
（2）句子x：由开始符合Z经1多步推导得到x，且x∈Vt*
（3）语言L：所有根据该文法推到得到的句子组成的集合

形式语言理论可以证明以下两点：
（1）G →L(G)：已知文法，求语言，通过推导；
（2）L(G)→G1，G2，……，Gn：已知语言，构造文法，无形式化方法，更多是凭经验。

等价文法：G和G’是两个不同的文法，若 L(G) = L(G’) ,
则G和G’为等价文法。

4.递归文法

①递归规则：规则右部有与左部相同的符号
对于 U::= xUy
若x=ε,即U::= Uy，左递归；
若y=ε,即U::= xU，右递归。

②递归文法：文法G，存在U ∈Vn
if U=+=>…U…, 则G为递归文法(自嵌入递归)；
if U=+=>U…, 则G为左递归文法；
if U=+=>…U, 则G为右递归文法。

③左递归文法的缺点：不能用自顶向下的方法来进行语法分析

④递归文法的优点：可用有穷条规则，定义无穷语言

5.句型的短语、简单短语和句柄

给定文法G[Z], w::=xuy∈V+，为该文法的句型,
若 Z==> xUy, 且U=+=>u, 则u是句型w相对于U的短语；
若 Z==> xUy, 且U==>u, 则u是句型w相对于U的简单短语。
其中U ∈Vn，u ∈V+，x, y ∈V*

短语的直观理解：短语是前面句型中的某个非终结符所能推出
的符号串。
句柄：任一句型的最左简单短语称为该句型的句柄

给定句型找句柄的步骤：
短语-> 简单短语-> 句柄

注意：短语、简单短语是相对于句型而言。一个句型
可能有多个短语、简单短语，但句柄只能有一个。

2.4 文法和语言分类

2.4.1 Chomsky对文法的分类⭐️

文法和语言分类：0型、1型、2型、3型
这几类文法的差别在于对产生式施加不同的限制。

0型

1型

2型

3型

从形式上说文法G是一个四元式(VN,VT,P,S)从形式上说文法G是一个四元式(V_N,V_T,P,S)从形式上说文法G是一个四元式(VN​,VT​,P,S)

文法类型	别称	对产生式的限制	可被接受目标
0型文法	短语结构文法	P:u::=v 其中 u∈V＋,v∈V*	图灵机(Turing)
1型文法	上下文敏感（有关）文法	P: xUy::= xuy 其中 U∈Vn,x、y、u∈V*	线性界限自动机
2型文法	上下文无关文法	P: U::= u 其中 U∈Vn,u∈V* 左边的必须是非终结符，右边是字符串	下推自动机
3型文法	正则文法	①P:U::=T或U::=wT其中U、w∈Vn,T∈Vt(右线性)②P:U::=T或U::=Tw其中U、w∈Vn,T∈Vt(左线性)①P: U::=T 或 U::=wT 其中 U、w∈V_n,T∈V_t(右线性)\\ ②P:U::=T 或 U::=T_w 其中 U、w∈V_n ,T∈V_t(左线性)①P:U::=T或U::=wT其中U、w∈Vn​,T∈Vt​(右线性)②P:U::=T或U::=Tw​其中U、w∈Vn​,T∈Vt​(左线性) 人话来说，左边的必须是非终结符， 右边的非终结符要么都在左边，要么都在右边	有穷自动机

注：

• 3型文法是我们判断单词是否正确的方法

• 2型语言是我们判断句子是否正确的方法

• 2型文法与BNF表示相等价。

• 3型语言（L3）又称正则语言、正则集合

• 四种语言的关系：
  

2.4.2 i型语言

由i型文法生成的语言成为i型语言。

– 记为：L(G)；L(G)={w|w ∈VT* ，且S →+ w}

2.4.3 文法的构造和简化

1) 构造-> 文法

例一

设文法G1＝({S},{a,b},P,S)

其中P为:

(0) S →aS

(1) S →a

(2) S →b

L(G1)={ai(a|b)|i>=0}

例二

设文法G2＝({S},{a,b},P,S)

其中P为:

(0) S →aSb

(1) S →ab

L(G2)={anbn|n>=1}

2) 构造->文法

设L2=aibjck∣i,j,k>=1且a,b,c∈VT试构造生成L2的文法G2设L_2={a^ib^jc^k | i,j,k>=1 且a,b,c ∈ V_T}试构造生成L_2的文法G_2设L2​=aibjck∣i,j,k>=1且a,b,c∈VT​试构造生成L2​的文法G2​

解：S →aS

S → aB

B →bB

B →bC

C →cC | c

设L4={ω | ω ∈(0,1)* 且ω中1的个数为偶数}试构造生成L4的文法G4

解：

S → ε

S →0S， S → 1A

A →0A , A →1S

3) 简化文法

简化规则

• 查找有无形如P→P的产生式，若有则删除；
• 若某个产生式在推导过程中永远不会被用到，删除它；
• 若某个产生式在推导过程中不能从中导出终结符，删除它；
• 最后，整理所有剩余产生式，就得到简化的文法。

例题

简化

(0)S → Be (1)S → Ec (2)A → Ae (3)A →e

(4)A →A (5)B →Ce (6)B →Af (7)C →Cf

(8)D →f

答案

(0) S → Be

(1)A → Ae

(2)A →e

(3)B →Af

2.4.4 构造无ε产生式的上下文无关文法

无ε产生式的上下文无关文法要满足条件

P中要么不含有ε产生式，要么只有S → ε；

若S → ε，则S不出现在任何产生式右部。

构造无ε产生式的上下文无关文法变换算法：

G=(VN,VT,P,S)G’=(V’N,V’T,P’,S’)G=(V_N,V_T,P,S) G’=(V’_N,V’_T,P’,S’)G=(VN​,VT​,P,S)G’=(V’N​,V’T​,P’,S’)

• 由文法G找出所有经过若干步推导能推出ε的非终结符，放在V0集合中。
• 再按下列步骤构造G’的产生式集合P’；
  • A)若V0集合中的某元素出现在某产生式的右端，则将它变成两个产生式：分别以ε和其原型代入；将新产生式加入P’
  • B)不满足上一条的P中其他产生式除去ε产生式后也加入P’
  • C)如果P中有产生式S → ε，将它在P’中改为S ‘→ ε | S，S’是新的开始符号，把它加入VN，形成V’N把它加入V_N，形成V’_N把它加入VN​，形成V’N​

设G1=({S},{a,b},P,S),其中

– P: (0) S → ε (1) S →aSbS (2) S →bSaS

(1)V0={S}

(2)P’: (1) → S →abS|aSbS|aSb|ab

(2) → S →baS|bSaS|bSa|ba

(0) → S’ → ε | S

故：文法G1’=({S’,S},{a,b},P’,S’),其中

P’: (0) S’ → ε | S

(1) S →abS|aSbS|aSb|ab

(2) S →baS|bSaS|bSa|ba

2.5 语法树与二义性文法

2.5.1 语法树

1) 概念⭐️

语法树的叶子节点是句子的单词，非叶子节点的是语法成分。

名称	内容
子树	除叶子结点之外的任意结点连同它的所有子孙结点构成子树。
修剪子树	除叶子结点之外的任意结点连同它的所有子孙结点构成子树。
句型	在一棵语法树生长过程中的任何时刻，所有那些叶子结点排列起来就是一个句型。
短语	子树的末端符号自左到右连成串，相对于子树树根而言称为短语。
简单短语（直接短语）	定义： 若 S ⇒* αβδ，且文法中包含产生式 A → β，则称 β 是句型 αβδ 相对于非终结符 A 的直接短语。 语法树： 在语法树中表示为该短语只有上下相邻父子两代 人话就是 ，是由所有叶子节点组成，并且叶子节点的父亲，没有其他子树
句型的短语	该句型中哪些符号串可构成某子树根的短语。
句柄	“可规约串”，句柄对应某个产生式的右部，是某个，但不是任意一个。作为一种规约对象，句柄表示最左直接短语。 语法树： 在语法树上，则表示为最左边的只包含相邻父子节点的短语（最左直接短语）
素短语	定义： 是指一个短语至少包含一个终结符，并且除它自身之外不再包含其他素短语
最左素短语	定义： 最左素短语就是句型最左边的素短语，是算符优先分析法的规约对象。 语法树： 通过语法树分析时，要注意先判断是否为素短语，再找相对最左端的素短语。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KimI76QC-1615862510916)(picture/image-20210129092501778.png)]

语法图

例题

直接短语的为 S 、（T）、b，短语有S、（T）、b、Sd（T)、Sd（T）db 、（Sd（T）db）。

(T),为什么都是直接短语，是因为(T)，三个都是叶子节点，父亲节点S没有其他子树

d不是直接短语,因为d所在的树还有子树所以它不是 ！

2) 短语，直接短语，句柄

给定句型：

T*P↑(T*F)

给定文法：

G[T]:
T → T*F|F
F → F↑P|P
P → (T)|i

解析：

推导步骤为：

T ⇒ TF
⇒ TF↑P
⇒ TP↑P
⇒ TP↑(T)
⇒ TP↑(TF)

画出语法树为：

该语法树的 5 个子树及 5 个短语为：

求直接短语方法： 该句型的语法树有两颗直接子树（最左边的两颗子树），由这两颗直接子树的叶子结点组成的符号串（或者说只包含两层的子树叶子结点对应的），就是句型的两个直接短语，直接短语 P 和 T*F。

求句柄： 因为 P 相对 T*F，在语法树上的左侧，所以句柄是 P

最终结果：

类型	内容
短语 5 个	P，TF，(TF)，P↑(TF)，TP↑(T*F)
直接短语 2 个	P，T*F
句柄	P

3) 素短语，最左素短语

给定句型：

FF↑a

给定文法：

G[T]:
T → T*F|F
F → F↑P|P
P → (T)|i

解析：

推导步骤为：

T ⇒ TF*
⇒ TFF
⇒ TF↑*\F*
⇒ TF↑a

画出语法树：

最终结果：

根据定义可以找出素短语有：

类型	内容
素短语 2 个	F↑，a
最左素短语	F↑

2.5.2 二义性

1) 判断二义性文法

依据：文法所能产生的句子，可以用不同的推导原则（使用产生式顺序不同）将其推导出来。如果文法是非二义性文法，那么语法树的生成规律不同，但最终生成的语法树形状完全相同；如果文法是二义性文法，那么最终生成的语法树形状有可能不相同。
方法1：若对于一个文法的某一句子存在两棵不同的语法树（或两个不同的 规范推导）；或者自底向上看，对于同一个规范句型，存在两个不同的句柄。则该文法是二义性文法，否则是无二义性文法。
方法2：即不改变二义性文法，而是确定一种编译算法，使该算法满足无二义性充分条件。
文法二义性的判定？？：在理论上已经证明：文法的二义性是不可判定的，即不可能构造出一个算法，通过有限步骤来判定任一文法是否有二义性。解决方法：提出一些限制条件，称为无二义性的充分条件。当文法满足这些条件时，就可以判定文法是无二义性的。

2) 子树与短语

子树：子树由语法树中的某个结点（子树的根）连同它向下派生的部分所组成。
关系：某子树的末端结点按自左向右顺序为句型中的符号串，则该符号串为该句型的相对于该子树根的短语。

3) 规约

自下而上地修剪子树的末端结点，直至把整棵树剪掉（留根），每剪一次对应一次规约。
规范规约：对句型中最左简单短语（句柄）进行的规约称为规范规约。
注：规范规约与规范推导 互为逆过程。

规范句型：通过规范推导或规范规约所得到的句型称为规范句型。

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