高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）泰勒公式
§3.3 泰勒公式
常用近似公式
，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当
较大时），从下图可看出。
上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：
1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。
2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。
将上述两个想法作进一步地数学化：
对复杂函数
，想找多项式
来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差
。
【问题一】
设在含
的开区间内具有直到
阶的导数，能否找出一个关于
的 
次多项式
近似?
【问题二】
若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?
一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数
。
……………
上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：
于是， 所求的多项式为：
(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数在含有的某个开区间
内具有直到阶导数，则当
时，可以表示成
这里
是与
之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：
这表明：
只要对函数 
及 
在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明】
以与为端点的区间
或
记为 
， 
。
函数 在上具有直至 阶的导数，
且 
函数 在上有直至阶的非零导数，
且 
于是，对函数 
及 
在上反复使用 次柯西中值定理， 有
三、几个概念
1、
此式称为函数按的幂次展开到 
阶的泰勒公式；
或者称之为函数在点 处的 阶泰勒展开式。
当 
时， 泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的，若 
有 
此式可用作误差界的估计。
故 
表明： 误差
是当 
时较 
高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若
，则在 
与 之间，它表示成形式 
，
泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求
的麦克劳林公式。
解： 
，
于是 
有近似公式 
其误差的界为 
我们有函数
的一些近似表达式。
(1)、
(2)、
(3)、
在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。
【例2】求 
的 阶麦克劳林公式。
解：
它们的值依次取四个数值 
。
其中： 
同样，我们也可给出曲线 
的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。
【例3】求
的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。
解：
于是： 
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限 
。
解：
， 
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为
，从而
当
时，
，应为 
【例5】利用三阶泰勒公式求 
的近似值， 并估计误差。
解：
故：
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