周期信号的傅里叶级数表示

1. 线性时不变系统对复指数信号的响应

在研究 $LTI$（Linear and Time-invariant System）系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，但这些基本信号应该具有以下两个性质：

由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
$LTI$ 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表示式。

傅里叶分析的很多重要价值都来自于这一点，即连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的$e^{st}$ 和离散时间的 $z^n$，其中 $s$ 和 $z$ 都是复数。

在研究 $LTI$ 系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即一个 $LTI$ 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化，也就是说：

\[连续时间：e^{st} \to H(s)e^{st}\]
\[离散时间：z^{n} \to H(z)z^{n}\]
这里 $H(s)$ 或 $H(z)$ 是一个复振幅因子，一般来说是复变量 $s$ 或 $z$ 的函数。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。

现考虑一个单位冲激响应为 $h(t)$ 的连续时间 $LTI$ 系统，对任意输入 $x(t)$，可由卷积积分来确定输出，若令 $x(t)=e^{st}$，则有

\[ \tag 1 y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau = e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\]

假设（1）式右边的积分收敛，于是系统对 $x(t)$ 的响应就为
\[ \tag 2 y(t) = H(s) e^{st}\]
式中 $H(s)$ 是一个复常数，其值决定于 $s$，并且它与系统单位冲激响应的关系为
\[ \tag 3 H(s) =\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\]

可以完全用并行的方式证明，复指数序列也是离散时间 $LTI$ 系统的特征函数。这就是说单位脉冲响应为 $h[n]$ 的 $LTI$ 系统，其输入序列为
\[ \tag 4 x[n] = z^{n}\]
式中 $z$ 为某一复数，由卷积和可以确定系统的输出为
\[ \tag 5 y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{n-k} = z^n\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}\]
假设（5）式右边的求和收敛，于是系统对 $x[n]$ 的响应就为
\[ \tag 6 y[n] = H(z) z^{n}\]
式中 $H(z)$ 是一个复常数，为
\[ \tag 7 H[z] =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}\]

针对更一般的情况，若一个连续时间 $LTI$ 系统的输入表示成复指数的线性组合，即
\[ \tag 8 x(t) = \sum_k a_k e^{s_kt}\]
那么输出就一定是
\[ \tag 9 y(t) = \sum_k a_kH(s_k) e^{s_kt}\]

对于离散情况，完全类似，若一个离散时间 $LTI$ 系统的输入表示成复指数的线性组合，即
\[ \tag {10} x[n] = \sum_k a_k z_k^n\]
那么输出就一定是
\[ \tag {11} y[n] = \sum_k a_kH(z_k) z_k^n\]

2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

2.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号
\[\tag{12}x(t) = e^{j \omega_0 t}\]
的基波频率为 $\omega_0$，基波周期 $T=2\pi / \omega_0$。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是
\[\tag{13}\phi_k(t) = e^{j k\omega_0 t}=e^{j k(2\pi / T) t}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot\]

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是 $\omega_0$ 的倍数。因此每个信号对周期 $T$ 来说都是周期的。于是，一个由成谐波关系的复指数信号线性组合形成的信号
\[\tag{14}x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t}\]
对周期 $T$ 来说也是周期的。在式（14）中，$k=0$ 这一项是个常数，$k=+1$ 和 $k=-1$这两项都有基波频率等于 $\omega_0$，两者合在一起称之为基波分量或称一次谐波分量。$k=+2$ 和 $k=-2$ 这两项也是周期的，其频率是基波频率的两倍，称为二次谐波分量。一般来说，$k=+N$ 和 $k=-N$ 的分量称为第 $N$ 次谐波分量。

一个周期信号表示成式（14）的形式，就称为傅里叶级数表示。

2.2. 连续时间周期傅里叶级数表示的确定

假设一个给定的周期信号能表示成式（14）的形式，这就需要一种办法来确定这些系数 $a_k$，将式（14）两边各乘以 $e^{-jn\omega_0t}$，可得
\[\tag{15} x(t) e^{-jn\omega_0t}= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}\]
将上式两边从 0 到 $T=2\pi/ \omega_0$对 $t$ 积分，有
\[\tag{16} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \int _0^T\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}dt\]

这里 $T$ 是 $x(t)$ 的基波周期，以上就是在该周期内积分。将上式右边的积分和求和次序交换后得
\[\tag{17} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt\]
式（17）右边括号里的积分是很容易的，为此利用欧拉公式可得

\[\tag{18} \int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt=\int _0^T cos(k-n)\omega_0 tdt+j\int _0^T sin(k-n)\omega_0 tdt\]

对于 $k\not= n$，$cos(k-n)\omega_0 t$ 和 $sin(k-n)\omega_0 t$都是周期函数，其基波周期为 $(T/|k-n|)$。现在做的积分是在 $T$ 区间内进行，而 $T$ 又一定是它们的基波周期 $(T/|k-n|)$ 的整数倍。由于积分可以看做是被积函数在积分区间内所包括的面积，所以式（18）右边的两个积分对于 $k\not= n$ 来说，其值为 0；而对 $k= n$，式左边的被积函数是 1，所以其积分值为 $T$ 。综合上述得到
\[\tag{19}\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}\]
这样式（17）的右边就变成了 $Ta_n$，因此有

\[\tag{20} a_n = \frac{1}{T}\int _0^Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt\]

另外，在求式（18）时我们仅仅用到了积分是在一个 $T$ 的时间间隔内进行，而该 $T$ 又是 $cos(k-n)\omega_0 t$ 和 $sin(k-n)\omega_0 t$ 周期的整数倍。因此，如果是在任意 $T$ 的间隔做积分，结果应该是相同的。也就是说，若以 $\int _T$ 表示在任意一个 $T$ 间隔内的积分，则应该有

\[\tag{21}\int _Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}\]
因此
\[\tag{22} a_n = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt\]

上述过程可归结下：如果 $x(t)$ 能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中系数就由式（22）所确定，这一对关系就定义为一个周期连续信号的傅里叶计数。
\[\boxed{x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t} \\ a_k = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k\omega_0 t}dt=\frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k(2\pi/T) t}dt}\]
第一个式子称为综合公式，第二个式子称为分析公式。系数 ${a_k}$ 往往称为 $x(t)$ 的傅里叶级数系数或频谱系数。

例 1
例 2

2.3. 傅里叶级数的收敛

对于任何周期信号，我们总是能利用式（22）求得一组傅里叶系数。然而，在某些情况下式（22）的积分可能不收敛，也就是说求得的某些系数可能是无穷大。再者，即使求得的全部系数都是有限值，当把这些系数代入式（14）时所得到的无限项级数也可能不收敛于原信号。

狄里赫利条件：

在任何周期内，$x(t)$ 必须绝对可积，即
\[\tag{23}\int_T|x(t)|dt < \infty\]
这一条件保证了每一系数 $a_k$ 都是有限值，因为
\[\tag{24}|a_k| \leqslant \frac{1}{T}\int_T|x(t)e^{jk\omega_0t}|dt=\frac{1}{T}\int_T|x(t)|dt\]
不满足狄里赫利第一条件的周期信号可以举例如下：
\[\tag{25}x(t)=\frac{1}{t}, 0<t\leqslant1\]
在任意有限区间内，$x(t)$ 具有有限个起伏变化，也就是说，在任何单个周期内，$x(t)$ 的最大值和最小值的数目有限。

满足条件 1 而不满足条件 2 的一个函数是
\[\tag{26}x(t)=sin(\frac{2\pi}{t}),0<t\leqslant1\]

在 $x(t)$ 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数都是有限值。

不满足条件 3 的一个例子如下所示，这个信号的周期为 $T=8$，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度都是前一个阶梯的一半。

2.4. 傅里叶级数的性质

3. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示

3.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号
\[\tag{27}x[n] = e^{j (2 \pi/N)n}\]
基波频率为 $\omega_0 = 2\pi / N$，基波周期为 $N$。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是
\[\tag{28}\phi_k[n] = e^{j k\omega_0 n}=e^{j k(2\pi / N) n}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot\]

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是 $2\pi / N$ 的倍数。由式（28）给出的信号集中只有 $N$ 个信号是不相同的，这是由于离散时间复指数信号在频率上相差 $2\pi / N$ 的整数倍都是一样的缘故。因此有
\[\tag{29}\phi_k[n] = \phi_{k+rN}[n] \]
这就是说，当 $k$ 变化一个的 $N$ 整数倍时，就得到一个完全一样的序列。现在我们希望利用序列 $\phi_k[n]$ 的线性组合来表示更一般的周期序列，这样一个线性组合就有如下形式
\[\tag{30}x[n] = \sum_{k}a_k\phi_k[n]=\sum_{k}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k}a_ke^{j k(2\pi / N) n}\]
因为序列 $\phi_k[n]$ 只有在 $k$ 的 $N$ 个相继值的区间是不同的，因此，式（30）的求和仅仅需要包括 $N$ 项。为了指出这一点，特将求和限表示成 $k=<N>$，即
\[\tag{31}x[n] = \sum_{k=<N>}a_k\phi_k[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n}\]
譬如说，$k$ 即可以取 $k=0, 1, 2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N-1$，也可以取 $k=3, 4, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N+2$，不管怎样取，式（31）右边的求和都是一样的。式（31）称为离散时间傅里叶级数，而系数则称为傅里叶级数系数。

3.2. 离散时间周期傅里叶级数表示的确定

离散时间傅里叶级数对就为
\[\boxed{x[n] =\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n} \\ a_k = \frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k\omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k(2\pi/N) n}}\]
和连续时间周期信号一样，第一个式子称为综合公式，第二个式子称为分析公式。系数 ${a_k}$ 往往称为 $x[n]$ 的频谱系数。

再回到式（31），我们看到若从 0 到 $N-1$ 范围内取 $k$，则有
\[ \tag{32}x[n]=a_0\phi_0[n]+a_1\phi_1[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N-1}\phi_{N-1}[n]\]
相类似地，若从 1 到 $N$ 范围内取 $k$，则有
\[ \tag{33} x[n]=a_1\phi_1[n]+a_2\phi_2[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N}\phi_{N}[n]\]
因为 $ \phi_0[n] = \phi_N[n]$，将式（32）和式（33）作一比较，就可以得出 $a_0 = a_{N}$。类似地，若 $k$ 取任何一组 $N$ 个相连的整数，就一定有
\[ \tag{34} a_k = a_{k+N}\]
这就是说，倘若我们考虑的 $k$ 值多余 $N$ 的话，那么 $a_k$ 的值必定以 $N$ 为周期，周期性重复。

例 1

3.3. 离散时间傅里叶级数的性质

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