CodeForces - 1220D Alex and Julian(思维+数论)

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题目大意：给出一个整数集合B，现在可以根据集合B构造一个无向图，规定所有的整数(无穷无尽)为顶点，若两个整数i和j满足abs(i - j)在集合B中，则 i 和 j 之间可以连一条边，现在问最少从集合B中删掉多少个元素，满足构成的图为一个二分图

题目分析：二分图的定义是不存在奇环，那么在这个题目中什么时候会出现奇环呢？因为顶点的范围是全部整数，最好想法的就是将奇数和偶数分开来，这样就是一张完美的二分图了，既然从奇偶出发，因为是牵扯到abs(i - j)与集合B的关系，所以我们首先需要知道：

奇数+奇数=偶数
奇数+偶数=奇数
偶数+偶数=偶数

如果我们想要将其分为奇偶两部分的话，显然必须令集合B中只剩下奇数才行，因为奇数和偶数作差只会出现奇数，因此刚好可以连边，而后考虑一下奇数和偶数都存在的情况，可以证明一定会存在奇环：

假设奇数为x，偶数为y，则点0到点x*y一定有奇环：因为点0可以和点x建边，因为abs(x-0)=x，点x可以和点2*x建边，因为abs(2*x-x)=x，以此类推，点0到点x*y之间可以通过x传递建立y条边，点0到点x*y之间可以通过点y传递建立x条边，也就是由点0->点x*y->点0这个环中共有x+y条边，通过上面的前提我们可以得证，x+y是奇数，故一定存在奇环，证毕

若集合中有奇数有偶数是肯定不符合题意的，那么全部都是偶数的情况呢？因为如果集合中的数全是偶数，我们可以发现，所有的奇数和奇数连成了一个小集合，而所有的偶数和偶数也都连成了一个小集合，也就是说奇数和偶数互不干涉，所以我们需要想办法将其集合中的数转换为奇数的情况就能豁然开朗了，这里可以让集合B中所有的偶数同时除以2，直到出现至少一个奇数为止，这个操作该如何解释呢？因为现在已经是奇数点在一个集合中，偶数点在一个集合中了，我们可以对其重新编号，也就是让奇数所在的集合中等量出现奇数和偶数，偶数亦然，此时就相当于将整个集合的编号除以2了，同样集合B中的元素也需要对应除以2，根据题意保留的元素大概是这样的：

保留全部奇数
删除掉①中所有的奇数后，全部偶数除以2后，保留全部奇数
删除掉②中所有的奇数后，全部偶数除以2后，保留全部奇数
如此往复

到此为止，我们发现可以将所有的数按照二的幂次分成不同的集合中去，也就是说在题目给出的集合B中，我们可以选择任意一个二的幂次的集合进行保留，那么因为题目要求我们删除掉最少的元素，所以我们选择最大的那个集合保留即可

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e5+100;LL a[N];int num[N],cnt[100];int get_num(LL x)
{int ans=0;while(x%2==0){x>>=1;ans++;}return ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",a+i);num[i]=get_num(a[i]);cnt[num[i]]++;}int mmax=*max_element(cnt,cnt+100);printf("%d\n",n-mmax);for(int i=0;i<100;i++)if(mmax==cnt[i]){for(int j=1;j<=n;j++)if(num[j]!=i)printf("%lld ",a[j]);break;}return 0;
}

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