神经网络求解二阶常微分方程

最近课题组老师给出一篇文献，文件原文如链接一所示。需要让我使用深度神经网络求解偏微分方程。在相关调研过程中，CSDN上作者Trytobenice分享过相关的程序源码。基于相关程序源码，我将他的一阶常微分方程求解扩充到二阶常微分方程求解。并且按照此方法可以求解高阶常微分方程。

理论分析

对于任意一个微分方程，我们都可以用这个方程表示出

求解目的就是找出这样的一个方程：ψ(x)，能够满足以上的G()函数。
对于计算机求解，第一步要将其离散化处理：

人工神经网络若要求解该方程，那就设方程ψ(x)函数如下形式：

将预设的ψ(x)带入原方程中，只需要让G()函数在定义范围内达到最小，那就求解出这个方程了。二次方项是为了将负数对结果的影响消除。

下面再来分析ψ(x)的内容：
在讲解这个解函数之前，需要给出一个补充知识。要求解出常微分方程，仅仅给出常微分方程表达式是不够的，还要给出常微分方程的初始条件和边界条件。这样才能保证解函数的唯一性。

ψ(x)函数中包含两项。第一项是A(x)，这一项是为了满足初始条件或者边界条件。第二项F{x,N(x,p)}，这一项是神经网络满足偏微分方程的部分，不考虑边界条件。【注：为什么F()项能够不考虑边界条件，文中例子会给出介绍】

继续看F{x,N(x,p)}，这一项中包含N(x,p)。这个N()函数就是神经网络函数表达式形式。x表示输入数据，p表示神经网络中的参数。通过BP网络优化神经网络中的参数p，使神经网络能够达到最适，就能得到神经网络的解函数ψ(x)。

设出这个解函数之后，我们下一步要根据解函数表达出微分方程。微分方程中至少包含一个微分项，可能是一阶，也可能是二阶；可能是常微分，也可能是偏微分。论文中给出神经网络N(x,p)输出对输入x的微分公式。公式形式如下：
式中k表示k阶导数，j表示对输入数据 xj(j是下角标) 的偏导。本文仅仅探讨常微分形式。

举例分析

这里给出一个一阶常微分方程表达式，用这个方程分析如何使用神经网络求解。方程入下：

并且给出边界条件，
这个方程有很明确的解析解，解析解如下所示：

对于神经网络求解，我们可以设神经网络解ψ(x)形式为：

在这里，满足边界条件的A(x)直接为1。不需要考虑边界条件的项F{x,N(x,p)}设为x*N(x,p)，那么在x=0的情况下，解第二项直接为0，仅仅保留A(x)，这样就能解释前部分的【注】。

方法提升

以上分析全部针对论文1的内容，论文1出版年份为1998年，论文2于2019年提出了更进一步的方法，下面我们进一步分析论文2的内容：

论文2设计的神经网络与论文1，解析解设计过程中，直接设神经网络输出的结果为

在这里不考虑边界值，边界值在损失函数上体现。损失函数第一项如论文1相同，第二项体现边界值。损失函数通过以下函数给出：
论文2设计的神经网络结构非常简单，中间只有一个隐藏层，隐藏层中只有10个神经元。

代码结果

在这里展示我使用Tensorflow设计的，求解二阶常微分方程的程序结果。二阶常微分方程式由以下方程给出：

二阶微分方程的初始值：

该微分方程的解析解：

使用设计的程序，仿真出的结果如图所示：

其中，解析解和神经网络解之间的差值用下图可以看出：

可以看到，这个拟合结果还是非常不错的，误差数量级控制在10^-4以下。

有时间会在github上开源代码，到时候下载别忘了给我点一个star。

论文1: Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations
论文2: Solving differential equations with neural networks: Applications to the calculation of cosmological phase transitions.

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