简单典型二阶系统_MIT—微分方程与线性代数笔记2.1 二阶常微分方程

§2.1 二阶常微分方程

2.1 Second Order Equations

微分方程

MIT公开课《微分方程和线性代数》 2.1 二阶微分方程v.youku.com

二阶常微分方程的应用特别广泛，因为它包含了加速度项，即速度的导数——二阶导数

。在图像上，二阶导数体现函数曲线的弯曲程度，因为它是斜率的变化率。二阶微分方程的典型方程式为

。

我们最初的讨论限制在A，B，C三个参数均为常数的情况下，并且在这一讲只求解二阶常微分方程的“零解”，即等式右侧为0的齐次方程的解。当参数均为常数时，解函数的形式均为指数函数。零解有两个，通常写成

的形式，其中的两个参数

c1和c2需要两个初值条件才能确定。在一阶常微分方程中我们通常有初值条件

，而二阶微分方程中有加速度项，因此通常需要速度项

作为初值条件。

例：在物理和工程中最常见的运动方程——简谐振动的方程，其形式为

，其中因为没有阻尼项，所以没有一阶导数项。这个方程描述的就是弹簧的简谐振动或者钟摆的运动。

如果假定m和k都是1，则方程变为二阶导数y''等于负的原函数

，立刻就会想到是正弦或者余弦函数。如果

m和k为实值，则二阶导数和原函数之间还差着参数k/m，因此该二阶微分方程的零解之一为

，根号是因为求导两次才会出现

k/m。而其零解完全表达式为两零解之和:

通常将

改写为

，其中

n代表自然频率，则方程变为

，而方程的解变为

。

可以看出零解中的参数需要带入初值条件加以确认，例如代入t=0，则零解的第二项消失，第一项只剩下参数，因此有

，同理可得

。因此有

。

绘制一下余弦函数的函数曲线来增加一下对它的认识：

，

的周期是

，

是角速度，单位是弧度每秒。

f是频率，单位是赫兹，满足

。因此有

。

零解还有另一种虚指数的表达方式

。方程对应的是纯简谐振动，因此表达式中的指数也是纯虚数。

§2.1b 受迫简谐振动

Forced Harmonic Motion

微分方程

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本讲仍然介绍常系数二阶微分方程，但是与上一讲自由状态的简谐振动不同，这次等式右侧不再是0，将引入外力作用构造这一简谐振动的运动状态或者说推进这种运动。

输入余弦函数

微分方程

。此时，解函数中必然包含两种频率信息：

外力频率 ω

自然频率

这两者的匹配状态决定着运动的状态，在实际应用中甚至决定桥梁是否会因为两频率相等

导致共振状态而发生倒塌。

方程中只有二次导数和函数本身，因此容易想见特解的形式为

，这个解函数也称之为受迫响应。将特解代入方程，可得：

方程的通解为特解和上一讲所求的零解进行线性组合。

改写特解的形式可得

。从中可以看到共振或者外力的频率接近自然频率时，对函数的影响非常巨大。我们将因子

称为频率响应。

输入Delta函数

，外力作用只发生在最初的一瞬间，即在0时刻给系统——例如单摆或者弹簧一个外力冲击，这一瞬间给了系统一定的速度，但是还没有发生位移，该方程的解函数

g(t)称为脉冲响应。

求解脉冲响应的方法是将之视为一个齐次方程

，但是方程的初值因为脉冲发生了改变，位移不变

，但是速度发生变化

。按照上一讲求“零解”的方法，将初值条件代入，可得到此方程的解为

。