获得凸包的算法可以算是计算几何中最基础的算法之一了。寻找凸包的算法有很多种，Graham Scan算法是一种十分简单高效的二维凸包算法，能够在O(nlogn)的时间内找到凸包。

首先介绍一下二维向量的叉积（这里和真正的叉积还是不同的）：对于二维向量a=(x1,y2)和b=(x2,y2)，a×b定义为x1*y2-y1*x2。而它的几何意义就是|a||b|sin<a,b>。如果a与b夹角小于180度（逆时针），那么这个值就是正值，大于180度就是负值。需要注意的是，左乘和右乘是不同的。如图所示：

Graham Scan算法的做法是先定下一个起点，一般是最左边的点和最右边的点，然后一个个点扫过去，如果新加入的点和之前已经找到的点所构成的“壳”凸性没有变化，就继续扫，否则就把已经找到的最后一个点删去，再比较凸性，直到凸性不发生变化。分别扫描上下两个“壳”，合并在一起，凸包就找到了。这么说很抽象，我们看图来解释：

我们找下“壳”，上下其实是一样的。首先加入两个点A和C：

然后插入第三个点G，并计算AC×CG的叉积，却发现叉积小于0，也就是说逆时针方向上∠ACG大于180度，于是删去C点，加入G点：

然后就是依照这个步骤便能加入D点。在AD上方是以D为起点。就能够找到AGD和DFEA两个凸壳。合并就得到了凸包。

关于扫描的顺序，有坐标序和极角序两种。坐标序是比较两个点的x坐标，如果小的先被扫描（扫描上凸壳的时候反过来）；如果两个点x坐标相同，那么就比较y坐标，小的先被扫描（扫描上凸壳的时候也是反过来）。极角序使用arctan2函数的返回值进行比较，我没写过所以也不是很清楚。
程序可以写得很精简，以下是我用C++写得凸包程序

/*
d[]是一个Point的数组，Point有两个两个属性x和y，同时支持减法操作和det(叉积)。
convex数组保存被选中的凸包的点的编号，cTotal是凸包中点的个数
*/
bool cmpPoint(const Point &a, const Point &b)  //比较坐标序所用的比较函数
{if (a.x!=b.x) return a.x<b.x; return a.y<b.y; } void get_convex_hull() { sort(d,d+N,cmpPoint); int Total=0,tmp; for (int i=0;i<N;++i) //扫描下凸壳 { while ( (Total>1) && ((d[convex[Total-1]]-d[convex[Total-2]]).det( //获得凸包中最后两个点的向量 d[i]-d[convex[Total-1]])<=0) ) Total--; //获得准备插入的点和凸包中最后一点的向量，计算叉积 convex[Total++]=i; } tmp=Total; for (int i=N-2;i>=0;--i) //扫描上凸壳 { while ( (Total>tmp) && ((d[convex[Total-1]]-d[convex[Total-2]]).det( d[i]-d[convex[Total-1]])<=0) ) Total--; convex[Total++]=i; } cTotal=Total; }

我们来看一道题：POJ1113 Wall，题意是给一些点，找一个闭合曲线C，使C能包住所有的点，并且给定的点到C的距离最小为L，问C的周长。稍微画一画就知道这个C的周长是这些点所构成的凸包的周长加上以L为半径的圆的周长。于是求一个凸包再加上2πL就可以了。我的程序如下：

#include <cstdio>
#include <cstring> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cmath> using std::sort; #define MAXN 1002 int N,L; double sqr(double a) { return a*a; } struct Point { double x,y; inline Point operator- (const Point &t) { Point ret; ret.x=x-t.x; ret.y=y-t.y; return ret; } inline Point operator+ (const Point &t) { Point ret; ret.x=x+t.x; ret.y=y+t.y; return ret; } inline int det(const Point &t) { return x*t.y-t.x*y; } inline double dist(Point &t) { return sqrt(sqr(x-t.x)+sqr(y-t.y)); } }d[MAXN]; bool cmpPoint(const Point &a, const Point &b) { if (a.x!=b.x) return a.x<b.x; return a.y<b.y; } int convex[MAXN],cTotal; void get_convex_hull() { sort(d,d+N,cmpPoint); int Total=0,tmp; for (int i=0;i<N;++i) { while ( (Total>1) && ((d[convex[Total-1]]-d[convex[Total-2]]).det( d[i]-d[convex[Total-1]])<=0) ) Total--; convex[Total++]=i; } tmp=Total; for (int i=N-2;i>=0;--i) { while ( (Total>tmp) && ((d[convex[Total-1]]-d[convex[Total-2]]).det( d[i]-d[convex[Total-1]])<=0) ) Total--; convex[Total++]=i; } cTotal=Total; } int main() { scanf("%d%d",&N,&L); for (int i=0;i<N;++i) { scanf("%lf%lf",&d[i].x,&d[i].y); } get_convex_hull(); double Ans=0; for (int i=0;i<cTotal-1;++i) { Ans+=d[convex[i]].dist(d[convex[i+1]]); } Ans+=d[convex[0]].dist(d[convex[cTotal-1]]); Ans+=3.1415926*2*L; printf("%.0lf\n",Ans); return 0; }