Graham Scan算法

预备知识：凸集：集合S中任意两点的连线都在集合S中，如果简单的理解，可以理解为凸边形

凸包：对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集，简单的理解，就是包含X的最小凸集，或者就是最外圈的点连起来

极角排序

用叉乘判断方向：向量a叉乘向量b的值就是|a| |b| sinθ,θ是向量a逆时针旋转到向量b的角度（右手定则)，所以叉积是正的就是逆时针旋转过去，等于0就是共线，小于零就是逆时针旋转过去的

Graham Scan算法是一个用来求凸包的算法

第一步：把点按逆时针顺序排好

具体做法：找到左下角的点（横坐标和纵坐标都是最小的），以这个点为极点，想象有一个平行于x轴的并且和x轴正方向同向的极轴，然后进行极角排序

第二步：找凸包

具体做法：开一个栈,top=元素个数，从第0个点遍历到第n个再到第0个

对于第i个点，构造向量a(top-2->top-1),向量b(top-2->i),计算向量a 叉乘向量b，

如果不足两个点，i入栈

如果=0,说明共线，可以i入栈

如果>0，说明是逆时针的，可以i入栈

如果是<0说明已经凹进去了，第top-1点不符合凸包的定义，top-1出栈，--top，重复执行，直到成功入栈

结合图理解就是如果连2,3的话就已经凹进去了（左上角的）

下面看一个维基的动态版本

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
class point {
public:double x, y;point(const double &x = 0, const double &y = 0) :x(x), y(y) {}
};
int n;
//p是点集，convex是栈
point p[1005], convex[1005];
//叉乘
double cross(const point &a, const point &b, const point &c, const point &d) {return (b.x - a.x)*(d.y - c.y) - (b.y - a.y)*(d.x - c.x);
}
//极角排序，角度相同按x升序
bool cmp(const point &a, const point &b) {double temp = cross(p[0], a, p[0], b);if (!temp)return a.x < b.x;return temp > 0;
}
//距离
double getDistance(const point &a, const point &b) {return sqrt(1.0*(a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y));
}
//graham scan算法，返回凸包顶点个数
int graham() {int top = 0, i = 0;while (i <= n) {//不足两个直接入栈，否则叉积判断方向，直到成功入栈while (top >= 2 && cross(convex[top - 2], convex[top - 1], convex[top - 2], p[i%n]) < 0)--top;convex[top] = p[i%n];++top;++i;}return top;
}
int main() {int num = 0;scanf("%d", &n);//读入点找到左下角的点for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);if (p[i].y < p[num].y || p[i].y == p[num].y&&p[i].x < p[num].x)num = i;}swap(p[0], p[num]);//极角排序sort(p + 1, p + n, cmp);num = graham();double ans = 0;//求周长for (int i = 1; i < num; ++i)ans += getDistance(convex[i], convex[i - 1]);printf("%.0lf\n", ans);return 0;
}

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题目：

poj1113

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
class point {
public:int x, y;point(const int &x=0, const int &y=0) :x(x), y(y) {}
};
int n;
point p[1005], convex[1005];
int cross(const point &a, const point &b, const point &c, const point &d) {return (b.x - a.x)*(d.y - c.y) - (b.y - a.y)*(d.x - c.x);
}
bool cmp(const point &a, const point &b) {int temp = cross(p[0], a, p[0], b);if (!temp)return a.x < b.x;return temp > 0;
}
double getDistance(const point &a, const point &b) {return sqrt(1.0*(a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y));
}
int graham() {int top = 2, i = 2;convex[0] = p[0];convex[1] = p[1];while (i <= n) {while (top >= 2 && cross(convex[top - 2], convex[top - 1], convex[top - 2], p[i%n]) < 0)--top;convex[top] = p[i%n];++top;++i;}return top;
}
int main() {int r, num = 0;scanf("%d%d", &n, &r);for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);if (p[i].y < p[num].y || p[i].y == p[num].y&&p[i].x < p[num].x)num = i;}swap(p[0], p[num]);sort(p + 1, p + n, cmp);num = graham();double ans = 0;for (int i = 1; i < num; ++i)ans += getDistance(convex[i], convex[i - 1]);ans += 2 * acos(-1.0)*r;printf("%.0lf\n", ans);return 0;
}

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有空补充一下快包和旋转卡壳

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