浅谈线段树（Segment Tree）

线段树的概念与性质

线段树首先是一棵树，而且是二叉树。树上的每个节点对应于一个区间[a,b]，a,b通常为整数。同一层的节点所代表的区间，互相不重叠。并且同一层的区间加起来是连续的区间，叶子节点的区间是单位长度1，无法再分

例如下图表示的是区间[1,9]的线段树

从图上可以看出线段树具有下面几个性质：

每个区间的长度是区间内整数的个数
叶子节点长度为1，不能再分
若一个节点对应的区间是[a,b]，则其子节点对应的区间分别是[a,(a+b)/2]和[((a+b)/2)+1,b]（除法去尾取整）
线段树的平分构造实际上是利用二分的方法，若根节点对应的区间是[a,b]，那么他的深度为 l o g 2 ( b − a + 1 ) + 1 log_2(b-a+1)+1 log2(b−a+1)+1（向上取整）
叶子节点的数目和根节点表示的区间长度相同
线段树节点要么0度，要么2度，因此若叶子节点数目为N，则线段树总节点数目为2N-1
线段树上，任意一个区间被分解后得到的“终止节点”数目都是logn量级
线段树上更新叶子节点和进行区间分解时间复杂度都是O(logn)的

以上结论为线段树能在O(logn)的时间内完成插入、更新、查找、统计数据提供了理论依据

线段树的构建

伪代码

function 以节点idx为根结点，idx对应区间为[l,r]对节点idx初始化if(l != r)以idx的左孩子为根建树，区间为[l,(l+r)>>1]以idx的右孩子为根建树，区间为[((l+r)>>1)+1,r]

建树的时间复杂度是O(n)，n为根节点对应的区间长度

线段树的基本用途

线段树适用于和区间统计有关的问题。比如某些数据可以按区间进行划分，按区间动态进行修改，而且还需要按区间多次查询，那么使用线段树可以达到较快的速度

线段树应用举例

原题链接：HDU1166

给你一个数列KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: A&̲#095;1A_2.…，并且多次进行下列两个操作：

对数列里面的某个数进行加减
询问这个序列里面任意一个连续的子序列KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: A&̲#095;iA_{i…的和是多少

构建一棵线段树，[1,n]就是根节点对应的区间，在每个节点记录该节点对应的区间内的和sum

对于操作1，因为序列里面KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: A&̲#095;i最多只会被线段树的logn个节点覆盖。只要求对线段树覆盖的KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: A&̲#095;i所在节点的区间进行操作，因此时间复杂度是O(logn)

对于操作2，同样只需要找到区间覆盖的“终止”节点，然后把“终止”节点的sum累加起来，因为这些节点的数量是logn的，所以这一步的复杂度也是O(logn)

走到节点[l,r]时，如果要查询的区间就是[l,r]，那么直接返回该节点的sum，并累加到总和上；如果不是，则取mid = (l+r) >> 1，然后看要查询的区间与[l,mid]或[mid+1,r]哪个有交集，就进入哪个区间进行进一步查询

用线段树解题，关键是要想清楚每个节点要存哪些信息。先建树，然后插入数据，最后更新、查询

每个节点可表示为一个结构体

class Node {int l, r, sum;
}

线段树一般可以由左右指针或数组存储，根节点下标为0，假设线段树某节点为i，则：

左子节点下标为(i << 1) + 1
右子节点下表为(i << 1) + 2

如果根节点区间为[1,n]

使用左右节点指针，则数组需要有2n-1个元素
不适用左右节点指针，则数组需要有 2 ∗ 2 l o g 2 n − 1 2*2^{log_2n}-1 2∗2log2n−1个元素。由于该值小于等于4n-1，因此实际运用时常开4n大小的数组即可

构造初始线段树由根节点一次往下递归构造，代码如下

static void make(int l, int r, int idx) { // l为左端点，r为右端点，idx为数组下标n[idx].l = l;n[idx].r = r;if (l == r) //已经是叶节点了n[idx].sum = t[l]; //也可以是t[r]else {make(l,(l + r) >> 1,(idx << 1) + 1); //递归构造左子树make(((l + r) >> 1) + 1, r, (idx << 1) + 2); //递归构造右子树n[idx].sum = n[(idx << 1) + 1].sum + n[(idx << 1) + 2].sum;//父节点值等于子节点值之和，线段树分成两段}
}

t数组存放输入的初始值。当总数为n时，执行make(1,n,0)，输入样例得到的额线段树如下图所示

当第idx个营地增加j个人时，从根节点n[0]开始，不断往下递归更改人数，即只要包含改点idx的线段都增加相应的人数j，代码如下

static void add(int i, int j, int idx) { // 第i个营地增加j个人// 从根节点不断往下更改，只要包含点i的线段都增加数量jn[idx].sum += j;if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止return;if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) // 如果i在线段左边add(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点else // 如果i在线段右边add(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点
}

同理，当第i个营地减少j个人时，代码如下

static void sub(int i, int j, int idx) { // 第i个营地减少j个人// 从根节点不断往下更改，只要包含点i的线段都减少数量jn[idx].sum -= j;if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止return;if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) //如果i在线段左边sub(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点elsesub(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点
}

询问从[l,r]区间内的营地人数代码如下

static void query(int l, int r, int idx) { // 初始idx为0，即从根节点开始查找if (l <= n[idx].l && r >= n[idx].r)SUM += n[idx].sum;else {int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;if (r <= mid) // 要查询的区间在左边query(l, r, (idx << 1) + 1);else if (l > mid) // 要查询的区间在右边query(l, r, (idx << 1) + 2);else { // 要查询的区间在中间，分段查询，左右都查query(l, r, (idx << 1) + 1);query(l, r, (idx << 1) + 2);}}
}

这段代码可以这么理解，假设要查询的区间为[l,r]，当前走到的节点对应的区间是[n[idx].l,n[idx].r]，如果 [ n [ i d x ] . l , n [ i d x ] . r ] ∈ [ l , r ] [n[idx].l,n[idx].r]\in [l,r] [n[idx].l,n[idx].r]∈[l,r]，则将当前区间的信息记录下来，例如求区间和，就将当前区间和的信息累加到SUM中；如果要查询区间的右端点r<=当前区间的中点，说明需要查询的区间就在左子树里；反之，如果要查询区间的左端点l>当前区间的终点，说明要查询的区间就在右子树里；如果上面两种情况都不满足，说明左右子树均有需要的信息，左右子树都要查

完整代码如下

import java.util.Scanner;public class Main {static Node[] n;static int[] t;static int SUM;public static void main(String[] args) {Scanner cin = new Scanner(System.in);int T = cin.nextInt();for (int p = 1; p <= T; p++) {int tmp = 0;int N = cin.nextInt();n = new Node[4 * N];t = new int[N + 1];for (int i = 1; i <= N; i++)t[i] = cin.nextInt();make(1, N, 0);while (true) {String str = cin.next();if ("End".equals(str))break;int i = cin.nextInt();int j = cin.nextInt();if ("Query".equals(str)) {SUM = 0;if (tmp == 0) {System.out.println("Case " + p + ":");tmp++;}query(i, j, 0);System.out.println(SUM);} else if ("Add".equals(str))add(i, j, 0);else // Subsub(i, j, 0);}}}static void make(int l, int r, int idx) { // l为左端点，r为右端点，idx为数组下标n[idx] = new Node();n[idx].l = l;n[idx].r = r;if (l == r) // 已经是叶节点了n[idx].sum = t[l]; // 也可以是t[r]else {make(l, (l + r) >> 1, (idx << 1) + 1); // 递归构造左子树make(((l + r) >> 1) + 1, r, (idx << 1) + 2); // 递归构造右子树n[idx].sum = n[(idx << 1) + 1].sum + n[(idx << 1) + 2].sum;// 父节点值等于子节点值之和，线段树分成两段}}static void add(int i, int j, int idx) { // 第i个营地增加j个人// 从根节点不断往下更改，只要包含点i的线段都增加数量jn[idx].sum += j;if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止return;if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) // 如果i在线段左边add(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点else // 如果i在线段右边add(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点}static void sub(int i, int j, int idx) { // 第i个营地减少j个人// 从根节点不断往下更改，只要包含点i的线段都减少数量jn[idx].sum -= j;if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止return;if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) // 如果i在线段左边sub(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点elsesub(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点}static void query(int l, int r, int idx) { // 初始idx为0，即从根节点开始查找if (l <= n[idx].l && r >= n[idx].r)SUM += n[idx].sum;else {int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;if (r <= mid) // 要查询的区间在左边query(l, r, (idx << 1) + 1);else if (l > mid) // 要查询的区间在右边query(l, r, (idx << 1) + 2);else { // 要查询的区间在中间，分段查询，左右都查query(l, r, (idx << 1) + 1);query(l, r, (idx << 1) + 2);}}}
}class Node {int l, r, sum;
}

关于线段树的更多习题见线段树例题

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