正整数n分解成若干个个不同的自然数之和,使得乘积最大
问题分析:要想使得乘积最大,由均值不等式可知,当所有因子相等时,乘积达到最大,但是这里是互不相等,所以推出每个因子尽可能的接近的时候,乘积会达到最大,但是因子也有几个限制
1. 因子 > 1
2. 因子之间互不相等
3. 因子之间尽可能靠近
所以自然想到从2开始累加到接近n
设最后有最大因子为m(比如 13 = (2 + 3 + 4)+ 4), 使得最后一个留下来的数(这里是4)小于等于m
其实m可以由数学公式推导出来是 小于等于(sqrt(2 * n + 17 / 4) - 3 / 2),
所以有:
int len = 0;
int size = (sqrt(2 * n + 17 / 4) - 3 / 2);
int *temp = (int*)malloc(sizeof(int)*size);for(int i = 2; i <= n; i++)
{temp[len++] = i;n -= i;
}// 这时n和m相等
再想办法让剩下的均摊到每个因子上,所以从最大(也就是这里的最后)一个因子开始,依次加1,一直到m为0为止,得出我们想要的因子
int m = n;// 方法一:
for(int i = len - 1; m-- > 0; i--)temp[(i+len)%len]++;// 方法二:
if(m > 0)
{for(int i = len - 1; i >= 0 && m > 0; i ++)temp[i]++;temp[len-1] = m == 1 ? 1 : 0;
}// 因为m最大是len + 1,所以一轮循环之后,m不是0就是1
每个因子相乘就得到最大乘积 :
int res = 0;
for(int i = 0; i < len; i++)res *= temp[i];printf("max = %d\n",res);
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