中值定理如何构建辅助函数

作者：小海考研人

很多同学看到中值定理就犯怵，确实证明题一直是学生的软肋，并且 20 年数三考了一道中值定理题，是比较有难度的，想拿满分很难，如果有兴趣的同学…可以等学长有时间会进行解析，尽量通俗易懂不劝退。

但是我们不能因为中值定理难就放弃，想考高分，我们依然要迎难而上。

今天这篇重点讲一下利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值问题，如何构建辅助函数。即证明存在 ξ∈(a,b),\xi \in(a, b),ξ∈(a,b), 使得：
H(ξ,f(ξ),f′(ξ))=0H\left(\xi, f(\xi), f^{\prime}(\xi)\right)=0 H(ξ,f(ξ),f′(ξ))=0

主要思路参考张宇十八讲内容，因为同学问的较多，所以写出来供大家参考。

这类题目难点有两个：一是如何构造辅助函数；二是如何验证两端点值相等。请考生熟悉以下推导原理及思想并记忆本结论，对后续处理此类问题会有很大帮助。

待证结论如果是这样：证明存在 ξ∈(a,b),\xi \in(a, b),ξ∈(a,b), 使得 f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0,f^{\prime}(\xi)+g(\xi) f(\xi)=0,f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0, 如何构造辅助函数呢？

首先把 ξ\xiξ 改为 xxx，则有 f′(x)+g(x)f(x)=0f^{\prime}(x)+g(x) f(x)=0f′(x)+g(x)f(x)=0，两端同乘 e∫g(x)dx\mathrm{e}^{\int g(x) \mathrm{d} x}e∫g(x)dx，其中 ∫g(x)dx\int g(x) \mathrm{d} x∫g(x)dx 为 g(x)g(x)g(x) 的一个原函数，于是便有 f′(x)e∫g(x)dx+e∫g(x)dxg(x)f(x)=0f^{\prime}(x) \mathrm{e}^{\int g(x) d x}+\mathrm{e}^{\int g(x) d x} g(x) f(x)=0f′(x)e∫g(x)dx+e∫g(x)dxg(x)f(x)=0，等式左端显然此时就是 f(x)e∫g(x)dxf(x) \mathrm{e}^{\int g(x) d x}f(x)e∫g(x)dx 的一阶导数 ,,, 故这类问题的辅助函数便可取 F(x)=f(x)e∫s(x)dxF(x)=f(x) \mathrm{e}^{\int s(x) \mathrm{d} x}F(x)=f(x)e∫s(x)dx ，举例来说，

f′′(x)+g(x)f′(x)=0⇒F(x)=f′(x)e∫g(x)dxf^{\prime \prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow F(x)=f^{\prime}(x) \mathrm{e}^{\int g(x) \mathrm{d} x}f′′(x)+g(x)f′(x)=0⇒F(x)=f′(x)e∫g(x)dx

f(x)+g(x)∫0xf(t)dt=0⇒F(x)=∫0xf(t)dt⋅e∫g(x)dxf(x)+g(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0 \Rightarrow F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \cdot \mathrm{e}^{\int g(x) \mathrm{d} x}f(x)+g(x)∫0xf(t)dt=0⇒F(x)=∫0xf(t)dt⋅e∫g(x)dx

f′(x)+g(x)[f(x)−1]=0⇒F(x)=[f(x)−1]⋅e∫g(x)dxf^{\prime}(x)+g(x)[f(x)-1]=0 \Rightarrow F(x)=[f(x)-1] \cdot \mathrm{e}^{\int g(x) \mathrm{d} x}f′(x)+g(x)[f(x)−1]=0⇒F(x)=[f(x)−1]⋅e∫g(x)dx

再来看第二个难点，如何验证端点值相等？事实上，此类问题的辅助函数往往都是带有e∫g(x)dx\mathrm{e}^{\int g(x) \mathrm{d} x}e∫g(x)dx这一部分，于是想找F(x)=f(x)e∫s(x)dxF(x)=f(x) \mathrm{e}^{\int s(x) \mathrm{d} x}F(x)=f(x)e∫s(x)dx函数值相等的两个不同点，往往转化为在给定区间内找 F(x)F(x)F(x) 两个不同的零点，这样就有 F(x1)=F(x2)=0F\left(x_{1}\right)=F\left(x_{2}\right)=0F(x1)=F(x2)=0，进而可对其使用罗尔定理。

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