考研数学易错知识点 2021-08-06
考研部分知识点总结
目录
- 考研部分知识点总结
- 连续，极限
- 函数极限
- 导数的应用与证明
- 积分
- 积分2
- 微分方程
- 构建辅助函数
- 微分方程法构建辅助函数
- 多元微分
- 二重积分
- 线性代数
- 向量与秩
- 特征值
- 特征值
连续，极限
连续
绝对值函数的导数性质三
阶梯函数导数
多项式和对数函数的极限:
高阶导数
绝对值函数的导数性质一
函数极限
高阶无穷小相加
等价无穷小替换定理：因式可以用等价无穷小替换
高阶无穷小相乘
运用泰勒公式
变限积分求导公式
导数的应用与证明
求切线
画出积分区域
变量可分离的微分方程
水平、斜渐近线
隐函数求极值
拐点的第二充分条件:
单调函数的极限性质
极值的第一充分条件
的间断点
由导数求极值点
凸函数的切线位置
求切线
凹凸性判定
由导数求极值点
变限积分的复杂形式
变限积分求导公式
f(x)在开区间的范围
二阶导判断凹凸区间
参数式的二阶导数
观察法求方程根
判定方程根的个数
单调区间内无零点
由导数求极值点
通分不等式
通过二阶导数证明单调性
通过二阶导数证明单调性
对称的双变量不等式-构造函数
凸函数的导数性质
用最值证不等式
凹凸性判定
构造函数
积分
积分1
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分式拆项：分母能因式分解，只含一次式
分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂
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分式拆项：分母能因式分解，含二次式
拆项积分：分母不能因式分解: 拆项得到
分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂
运用积分
和差化积公式
余割函数的导数
sinx cosx偶数次幂
常用诱导公式
积分2
反常积分
反常积分同敛散的比较判别
函数间断点
区间两端同为奇点
变限积分的复杂形式: 使用变限积分求导公式
分式拆项：分母能因式分解，只含一次式
分部积分法
运用导数
提取公因式约分: 提取公因式约分化简（即只取分子分母的最高次项）
反常积分收敛的比较判别
函数积的奇偶性：不同奇偶性相乘为奇；相同奇偶性相乘为偶
对称函数换元：对称函数，换元使其平移，得到奇、偶函数
反常积分收敛的比较判别
指数、对数和多项式的极限
提取极限存在的因式
反常积分收敛的定义：反常积分的定义为极限，若极限存在，则反常积分收敛
函数间断点
反常积分同敛散的比较判别
等价无穷小替换定理
函数间断点
反常积分同敛散的比较判别
等价无穷小替换定理
周期函数的积分
e-x2 的反常积分
无穷极限的差
反常积分先求不定积分
分式拆项：分母能因式分解，含二次式
运用积分
定积分换元保留绝对值符号
定积分的和
积分中有绝对值号
运用积分
含定积分的方程: 注意，定积分是一个数，命其为a , 再解关于a 的方程
定积分换元保留绝对值符号
函数积的奇偶性
函数的奇偶性
函数平移
1至 n 的和
定积分的和
积分中有绝对值号
分析】三角函数的无理式，按顺序思考：1. 凑微分， 2. 化简成一次式，或可以直接积分/凑微分积分的形式， 3. 拆项，4. 和差化积，5. 万能代换。
这里不能直接凑微分，化简去掉根号。去根号后有绝对值号，需根据积分区域脱去绝对值号。
所以这是无穷区间上的反常积分，先计算不定积分。
函数积的奇偶性
奇偶函数在对称区间的积分
函数的奇偶性
写成指数形式
等价无穷小替换定理
提取极限存在的因式
微分方程
微分方程
选择未知函数
非齐次解的差为齐次解
代入解求未知函数
求二阶常系数非齐次线性方程的特解
求二阶常系数线性齐次方程的通解
自由项对应特征方程的根
高阶常系数线性方程
单重实根
求高阶齐次方程的通解
求高阶齐次方程的通解: 将 个特征根对应的项相加得到通解
无穷小的比较：涉及“同阶”，“等价”，“高阶”和“低阶” 无穷小的问题
构建辅助函数
构建辅助函数: 运用罗尔定理，经常需要构建辅助函数
反复使用罗尔定理
微分方程法构建辅助函数
中值定理
微分方程法构建辅助函数
不同区间上的双中值问题
柯西中值定理
选择合适的值展开泰勒公式: 关键是选择 的值使某些项消失
多元微分
多元微分概念
二重极限
构建路径
偏导数存在且连续（这个连续指的是求完偏导的函数）=>可微，反之推不出；
可微=>偏导数存在，反之推不出；
可微=>连续（这个连续指的是没求偏导的函数），反之推不出；
可微=>方向导数存在，反之推不出；
偏导数存在，连续，方向导数存在之间互相谁也推不出谁。
可微必连续
判定二元函数可微 (全微分定义)
隐函数求导法
求解隐函数方程
·隐函数存在定理
隐函数求二阶偏导数
求三元方程组
多元函数极值定义
比较等式两端各项系数
全微分导数性质
闭区域的最值问题
区域内部的极值
其变形
求二阶常系数线性齐次方程的通解
导数的乘、除法公式
函数的不同变量表示和式为0 推导某项为0 求偏导数
求光滑曲线段上的最值: 求曲线段上的端点和条件极值点
知识点
多元函数的驻点
求二元方程组
区域内部的极值
由关于x,y 的偏导关系，推关于 u,v 的偏导关系
求偏导数表达式，代入偏导数关系式
隐函数求二阶偏导数
求三元方程组
二元函数极值判定
化简目标函数
拉格朗日乘数法-方程组消去a,b
二重积分
极坐标计算二重积分
二重积分严格保序性
奇函数在轴对称区间上的二重积分
函数的奇偶性
画出积分区域（极坐标）
二重积分上下限 （直角坐标）
直角坐标解析式化成极坐标解析式
后积先定限，限内画条线；小的是下限，大的是上限
arcsin的性质
分块函数求积分
二重积分区域相加
找分块函数分界线
二重积分选择积分顺序: 选择积分顺序，使计算简便
运用积分：不定积分与定积分，经常用来构建罗尔定理的辅助函数，求数列和的极限，等。
偶函数在轴对称区间上的二重积分
画出积分区域
二重积分上下限 （直角坐标）
积分区域平移
二重积分区域相减
二重积分上下限 （极坐标）
直角坐标解析式化成极坐标解析式
二重积分区域相减
分块函数求积分
二重积分区域相加
二重积分定义求极限
线性代数
行列式
二阶递推式的解
递推法求行列式
一阶递推式的解
分块矩阵的 n次方
对角矩阵的 n 次方
行列互换、倍加的行列式
伴随阵与逆矩阵
可逆矩阵
伴随矩阵:
向量与秩
外积的秩
线性相关：1 个向量: 向量组a 线性相关
线性相关
矩阵行（列）变换
过渡矩阵
线性表出与秩: 若向量组 1可由向量组 2线性表出
线性无关
k阶子式
线性表出：1 个向量
矩阵的秩
(非)零矩阵的秩
AB=0时的秩
线性表出
解的个数
已知一个通解，求公共解
已知一个通解，求公共解: 将一个方程组的通解代入另一个方程组，则得到公共解
同解: 两个方程组同解的充要条件 1. 系数矩阵的秩相同；2. 基础解系相同，通解也相同
由通解求系数矩阵: 将基础解系、通解、或特解代入相应方程组，即得到关于系数矩阵的新方程组 , 解之则得到系数矩阵 .
线性方程组: 向量形式
矩阵与向量组的秩
齐次线性方程组的基础解系
Schmidt 正交化
线性表出：添加向量
线性方程组: 向量形式
线性方程组: 矩阵形式
线性表出：添加向量
线性方程组: 矩阵形式
线性无关解的个数
特征值
特征值
简单行列式计算
求基础解系
线性方程组: 矩阵形式
赋值自由未知量，得到基础解系：赋值自由未知量, 通常用简单的数如 ,0.1 , 解得相应独立未知量, 则得到基础解系
向量正交，立线性方程
实对称矩阵特征向量正交
求基础解系
.
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