数学--数论--欧几里得定理和拓展欧几里得定理
欧几里得定理:
gcd(a, b) = gcd(b, a%b)
证明:
我们首先约定:m = gcd(a,b) , n = gcd(b, q) , a = b*p +q。(这里的gcd含义跟上面一样,q的含义跟后面式子同)
1. m 是a,b的最大公约数,那么m整除a,b
q = a - b*p
m也可以整除q
=>m就是b和q的公约数
=>n是b,q的最大公约数
=>n >=m
2. =>n 是q,b的最大公约数,那么n整除q,b
=>a = b*p + q
=>n也可以整除a
=>n就是b和a的公约数
=>m是b,a的最大公约数
=>m >= n
3.q=a%b
综上所述,那么我们可以得出 n = m,及gcd(a, b) = gcd(b ,a%b)
实现:
int gcd(a, b)
{if(b == 0)return a;return gcd(b, a%b);
}
三目运算符优化:
int gcd(a, b)
{return b == 0?a:gcd(b, a%b);
}
拓展欧几里得定理:
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