裴蜀定理、拓展欧几里得及其证明

定理

裴蜀定理（贝祖定理）是一个关于最大公约数的定理。

裴蜀定理说明了对任何整数a,b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程：若a,b是整数，且 g c d ( a , b ) = d gcd(a,b)=d gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别的，一定存在整数x,y使ax+by=d成立。

重要推论

a、b互质的充分必要条件是存在整数x,y使 a x + b y = 1 ax+by=1 ax+by=1。

证明

设 d = g c d ( a , b ) d=gcd(a,b) d=gcd(a,b)，则 d ∣ a , d ∣ b d\mid a,d\mid b d∣a,d∣b。由整除性质可得， ∀ x , y ∈ N \forall x,y\in \mathbb{N} ∀x,y∈N,有 d ∣ ( a x + b y ) d\mid(ax+by) d∣(ax+by)。

设 s s s为 a x + b y ax+by ax+by的最小正值 ⋯ ⋯ ( 1 ) \cdots\cdots(1) ⋯⋯(1)。

令 a ÷ s = q ⋯ r a\ \div\ s=q\cdots r a ÷ s=q⋯r，则 q = ⌊ a s ⌋ q=\lfloor \frac{a}{s}\rfloor q=⌊sa⌋。

r = a − q ⋅ s = a − q ⋅ ( a x + b y ) = a − a ⋅ q x − b ⋅ q y r=a-q\cdot s=a-q\cdot(ax+by)=a-a\cdot qx-b\cdot qy r=a−q⋅s=a−q⋅(ax+by)=a−a⋅qx−b⋅qy。

r = a ( 1 − q x ) + b ( − q y ) r=a(1-qx)+b(-qy) r=a(1−qx)+b(−qy),故r也为a,b的线性组合。 ⋯ ⋯ ( 2 ) \cdots\cdots(2) ⋯⋯(2)

∵ r = a m o d s \because r=a\ mod\ s ∵r=a mod s,故 0 ≤ r < s 0\leq r < s 0≤r<s。 ⋯ ⋯ ( 3 ) \cdots\cdots(3) ⋯⋯(3)

∴ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ⇒ r = 0 \therefore (1)(2)(3) \Rightarrow r=0 ∴(1)(2)(3)⇒r=0

∴ a ÷ s = q \therefore a\div s=q ∴a÷s=q

∴ s ∣ a \therefore s\mid a ∴s∣a

同理可证 s ∣ b s|b s∣b

∵ { s ∣ a s ∣ b d = g c d ( a , b ) \because \left\{\begin{aligned} s|a\\ s|b\\ d=gcd(a,b) \end{aligned}\right. ∵⎩⎪⎨⎪⎧s∣as∣bd=gcd(a,b)

∴ d ≥ s \therefore d\ge s ∴d≥s

∵ d ∣ a , d ∣ b \because d\mid a,d\mid b ∵d∣a,d∣b,且s是a与b的一个线性组合

∴ d ∣ s \therefore d\mid s ∴d∣s

∵ d ∣ s , s > 0 \because d\mid s,s > 0 ∵d∣s,s>0

∴ d ≤ s \therefore d\leq s ∴d≤s

∵ d ≥ s , d ≤ s \because d\ge s,d\leq s ∵d≥s,d≤s

∴ d = s \therefore d=s ∴d=s

∴ a x + b y = d \therefore ax+by=d ∴ax+by=d

证毕。

求不定方程的解

设 d = g c d ( a , b ) d=gcd(a,b) d=gcd(a,b)

根据裴蜀定理可得到等式(贝祖等式): a x + b y = d ax+by=d ax+by=d

令 a ÷ b = ⌊ a b ⌋ ⋯ r a\div b=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdots r a÷b=⌊ba⌋⋯r ,故 r = a − ⌊ a b ⌋ ⋅ b r=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdot b r=a−⌊ba⌋⋅b

根据欧几里得算法， g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) = g c d ( b , r ) = d gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=gcd(b,r)=d gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=gcd(b,r)=d

当 b = 0 b=0 b=0，可得到一组特殊解： x = 1 , y = 0 x=1,y=0 x=1,y=0

当 b ≠ 0 b\neq 0 b=0，根据裴蜀定理：

b x ′ + r y ′ = d bx'+ry'=d bx′+ry′=d

= b x ′ + ( a − ⌊ a b ⌋ ⋅ b ) y ′ = d =bx'+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdot b)y'=d =bx′+(a−⌊ba⌋⋅b)y′=d

= b x ′ + a y ′ − b ⋅ ⌊ a b ⌋ y ′ = d =bx'+ay'-b\cdot\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'=d =bx′+ay′−b⋅⌊ba⌋y′=d

= a y ′ + b ( x ′ − ⌊ a b ⌋ y ′ ) = d =ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')=d =ay′+b(x′−⌊ba⌋y′)=d

∵ \because ∵
{ a y ′ + b ( x ′ − ⌊ a b ⌋ y ′ ) = d a x + b y = d \left\{\begin{aligned} ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')=d\\ ax+by=d \end{aligned}\right. ⎩⎨⎧ay′+b(x′−⌊ba⌋y′)=dax+by=d
∴ \therefore ∴
{ x = y ′ y = x ′ − ⌊ a b ⌋ y ′ \left\{\begin{aligned} x&=y' \\ y&=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y' \end{aligned}\right. ⎩⎨⎧xy=y′=x′−⌊ba⌋y′

即可发现x,y更新规律。

扩展欧几里得算法代码实现

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,x,y);int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);return d;
}