Fzu 2198 快来快来数一数【矩阵快速幂】

Problem 2198 快来快来数一数

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Problem Description

n个六边形排成一行，相邻两个六边形共用一条边，如下图所示：

记这个图形的生成树个数为t(n)（由于每条边都是不同的，不存在同构的问题）。那么t(1)=6，t(2)=35……

给出n，求mod 1000000007

Input

第一行给出数据组数T。

之后每一行给出一个正整数n。

T大约为50000，n<=10^18。

Output

每组数据输出一行答案。

Sample Input

12345678987654321

Sample Output

1733521876

Source

FOJ有奖月赛-2015年10月

思路：

暴力打表得到四项，6 35 204 1189.

不难看出，F【i】=F【i-1】*6-F【i-2】；

那么构造矩阵为：

然后跑矩阵快速幂即可。

然而直接跑会TLE，在网上题解找到了一种优化常数的方法（极限数据其实还是会卡掉这种做法的。）

先预处理出64个乘方矩阵，然后对于n来讲，如果某一位为1的时候再向上乘一个乘方矩阵。

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll __int64
typedef struct Matrix
{ll mat[3][3];
}matrix;
ll mod=1e9+7;
matrix A,B,Tmp[75];
Matrix matrix_mul(matrix a,matrix b)
{matrix c;memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));int i,j,k;for(int i=0;i<3;i++){for(int k=0;k<3;k++){if(a.mat[i][k]==0)continue;for(int j=0;j<3;j++){c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+((a.mat[i][k]*b.mat[k][j]))+mod)%mod;}}}return c;
}
Matrix matrix_quick_power(matrix a,ll k)
{matrix b;memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));for(int i=0;i<3;i++)b.mat[i][i]=1;//单位矩阵bwhile(k){if(k&1){b=matrix_mul(a,b);k-=1;}else{a=matrix_mul(a,a);k/=2;}}return b;
}
void init()
{A.mat[0][0]=6;A.mat[0][1]=-1;A.mat[0][2]=0;A.mat[1][0]=1;A.mat[1][1]=0;A.mat[1][2]=0;A.mat[2][0]=6;A.mat[2][1]=-1;A.mat[2][2]=1;Tmp[1]=A;for(int i=2;i<=64;i++){Tmp[i]=matrix_mul(Tmp[i-1],Tmp[i-1]);}
}
int main()
{int t;init();scanf("%d",&t);while(t--){ll n;scanf("%I64d",&n);memset(B.mat,0,sizeof(B.mat));for(int i=0;i<3;i++)B.mat[i][i]=1;int i=1;while(n){if(n&1){B=matrix_mul(B,Tmp[i]);}n/=2;i++;}printf("%I64d\n",(B.mat[2][0]+mod)%mod);}return 0;
}

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