牛客练习赛27 F-计数(状压+限制初末状态的矩阵快速幂)

传送门

假如不是环,很简单

定义f[i][j]f[i][j]f[i][j]枚举到第iii个数字最后五个数字状态是jjj

那么显然可以矩阵快速幂求解

初始矩阵aaa是111行(1<<m)−1(1<<m)-1(1<<m)−1列,若状态iii合法

就令a[1][i]=1a[1][i]=1a[1][i]=1

转移矩阵bbb是(1<<m)−1(1<<m)-1(1<<m)−1行(1<<m)−1(1<<m)-1(1<<m)−1列,若iii能转移到jjj

就令b[i][j]=1b[i][j]=1b[i][j]=1

这样最后乘起来得到一个111行(1<<m)−1(1<<m)-1(1<<m)−1列的矩阵ccc

c[1][i]c[1][i]c[1][i]表示最后五个数状态是iii的方案数

回到环形上来,唯一的区别在于末尾元素可以和开头元素相邻

那我们直接枚举开头状态和末尾状态

末尾状态在ccc的含义中已经知道了,但是不确定开头状态

其实只需要不乘初始矩阵就好了

b[i][j]b[i][j]b[i][j]的含义就是开头状态是iii,末尾状态是jjj的方案数

因为让a∗ba*ba∗b的过程中,就是累加每一种开头得到矩阵ccc

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,maxx;
const int mod = 998244353;
struct rce
{int m[35][35];rce(){ memset(m,0,sizeof m); }
};
rce operator * (rce a,rce b)
{rce ans;for(int i=0;i<maxx;i++)for(int j=0;j<maxx;j++)for(int k=0;k<maxx;k++)ans.m[i][j] = ( ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod )%mod;return ans;
}
rce init()
{rce ans;for(int i=0;i<maxx;i++)  ans.m[i][i] = 1;return ans;
}
rce quick(rce x,int n)
{rce ans = init();for( ; n ; n>>=1,x=x*x )if( n&1 )    ans = ans*x;return ans;
}
bool isok(int x)
{int one = 0;for(int i=0;i<m;i++)if( (1<<i)&x )    one++;//1表示3return one<=m-one;
}
bool check(int q,int w)
{for(int i=1;i<m;i++)//枚举每一位 {int one = 0; for(int j=i;j<m;j++)    if( q&(1<<(m-j-1)) )  one++;for(int j=0;j<i;j++)  if( w&(1<<(m-j-1)) )  one++;//  cout << one << endl;if( one>m-one )  return false;}return true;
}
signed main()
{cin >> n >> m;maxx = (1<<m);rce chu,gou;for(int i=0;i<maxx;i++)   chu.m[1][i] = isok(i);for(int i=0;i<maxx;i++)for(int j=0;j<maxx;j++){if( !isok(i)||!isok(j) )  continue;int x = i&((1<<(m-1))-1);if( x==(j>>1) )    gou.m[i][j] = 1;}gou = quick( gou,n-m );int ans = 0;for(int i=0;i<maxx;i++)//初状态 for(int j=0;j<maxx;j++)//末状态 {if( !isok(i)||!isok(j) )  continue;if( !check(j,i) )  continue;ans = ( ans+gou.m[i][j] )%mod;}cout << ans;
}

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