定义

第一类斯特林数

将 n n n个元素分成 m m m个无标号的轮换 [ n m ] \begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix} [nm]
什么叫轮换？
就是把一堆数放在一个圈上，如果可以通过旋转使得圈上的每个位置上数都和另一个圈上的数是相等的，那么这两个圈等价（意思就是它们是同一个轮换）
比如，现在有三个轮换：

第一个轮换和第二个轮换是等价的，第一个和第三个轮换不是等价的
那么，什么叫无标号的轮换？
就是如果一堆轮换调换顺序后和另一堆轮换完全相同（所有对应的轮换等价），那么这两堆轮换就是等价的
比如，现在有两堆轮换：

第一堆轮换和第二堆轮换完全相同，是等价的
为了让大家更了解第一类斯特林数，我们举一个例子： [ 3 2 ] = 3 \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=3 [32]=3
三种方法如下：

第一类斯特林数还有另一种定义，就是 ∏ i = 0 n − 1 ( x − i ) \prod \limits_{i=0}^{n-1}(x-i) i=0∏n−1(x−i)的 m m m次项系数叫 [ n m ] \begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix} [nm]

第二类斯特林数

将 n n n个元素分成 m m m个无标号的集合 { n m } \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix} {nm}
上面我们已经解释过了无标号的意思，相信大家都知道无标号集合的意思了
为了让大家更了解第二类斯特林数，我们举一个例子： { 3 2 } = 3 \begin{Bmatrix}3\\2\end{Bmatrix}=3 {32}=3
三种方法如下：

{ { 1 } , { 2 , 3 } } \{\{1\},\{2,3\}\} {{1},{2,3}}
{ { 2 } , { 1 , 3 } } \{\{2\},\{1,3\}\} {{2},{1,3}}
{ { 3 } , { 1 , 2 } } \{\{3\},\{1,2\}\} {{3},{1,2}}

性质

通项

第一类斯特林数貌似没有通项公式（或者是没用或者我太菜了不知道）
第二类斯特林数的通项为 { n m } = 1 m ! ∑ i = 0 m ( − 1 ) i ( m k ) ( m − i ) n \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum \limits_{i=0}^m(-1)^i\binom{m}{k}(m-i)^n {nm}=m!1i=0∑m(−1)i(km)(m−i)n貌似也没什么用……我不会证……记住就好了我好像也记不住？？？

递推

第一类斯特林数

[ n m ] = ( n − 1 ) [ n − 1 m ] + [ n − 1 m − 1 ] \begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix} [nm]=(n−1)[n−1m]+[n−1m−1]
证明：假如 n − 1 n-1 n−1个元素构成了 m − 1 m-1 m−1个无标号的轮换，第 n n n个元素独自构成一个无标号的轮换，有 [ n − 1 m − 1 ] \begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix} [n−1m−1]种方法。如果 n − 1 n-1 n−1个元素构成了 m m m个无标号的轮换，将第 n n n个元素插入到任意元素的左边，有 ( n − 1 ) [ n − 1 m ] (n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix} (n−1)[n−1m]种方法
∴ [ n m ] = ( n − 1 ) [ n − 1 m ] + [ n − 1 m − 1 ] \therefore \begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix} ∴[nm]=(n−1)[n−1m]+[n−1m−1]

第二类斯特林数

{ n m } = m { n − 1 m } + { n − 1 m − 1 } \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix} {nm}=m{n−1m}+{n−1m−1}
证明：假如 n − 1 n-1 n−1个元素构成了 m − 1 m-1 m−1个无标号的集合，第 n n n个元素独自构成一个无标号的集合，有 { n − 1 m − 1 } \begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix} {n−1m−1}种方法。如果 n − 1 n-1 n−1个元素构成了 m m m个集合，将第 n n n个元素插入到任意集合中，有 m { n − 1 m } m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix} m{n−1m}种方法
∴ { n m } = m { n − 1 m } + { n − 1 m − 1 } \therefore \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix} ∴{nm}=m{n−1m}+{n−1m−1}

特殊值

第一类斯特林数

[ n 0 ] = 0 , [ n 1 ] = ( n − 1 ) ! , [ n n − 1 ] = ( n 2 ) , [ n n ] = 1 \begin{bmatrix}n\\0\end{bmatrix}=0,\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=(n-1)!,\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}=\binom{n}{2},\begin{bmatrix}n\\n\end{bmatrix}=1 [n0]=0,[n1]=(n−1)!,[nn−1]=(2n),[nn]=1
自己想吧，太简单了，不证了

第二类斯特林数

{ n 0 } = 0 , { n 1 } = 1 , { n n − 1 } = ( n 2 ) , { n n } = 1 \begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=0,\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix}=1,\begin{Bmatrix}n\\n-1\end{Bmatrix}=\binom{n}{2},\begin{Bmatrix}n\\n\end{Bmatrix}=1 {n0}=0,{n1}=1,{nn−1}=(2n),{nn}=1
自己想吧，太简单了，不证了

快速幂？？？

① n m = ∑ i = 0 m { m i } n i ‾ n^m=\sum \limits_{i=0}^{m} \begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix} n^{\underline{i}} nm=i=0∑m{mi}ni
其中 n i ‾ n^{\underline{i}} ni表示 n n n的 i i i次下降幂，即 n i ‾ = ∏ k = 0 i − 1 ( n − k ) n^{\underline{i}}=\prod \limits_{k=0}^{i-1}(n-k) ni=k=0∏i−1(n−k)
证明：
当 m = 1 m=1 m=1时， ∑ i = 0 m { m i } n i ‾ = { 1 1 } n = n \sum \limits_{i=0}^{m} \begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix} n^{\underline{i}}=\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix} n=n i=0∑m{mi}ni={11}n=n
假设 m = k m=k m=k时成立
当 m = k + 1 m=k+1 m=k+1时， n k + 1 = n ∑ i = 0 k { k i } n i ‾ = ∑ i = 0 k { k i } ( n i + 1 ‾ + i n i ‾ ) = ∑ i = 0 k { k i } n i + 1 ‾ + ∑ i = 0 k { k i } i n i ‾ = ∑ i = 0 k + 1 { k i − 1 } n i ‾ + ∑ i = 0 k + 1 { k i } i n i ‾ = ∑ i = 0 k + 1 ( { k i − 1 } + i { k i } ) n i ‾ = ∑ i = 0 k + 1 { k + 1 i } n i ‾ n^{k+1}=n\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} n^{\underline{i}}=\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\left( n^{\underline{i+1}}+in^{\underline{i}}\right)=\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} n^{\underline{i+1}}+\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} in^{\underline{i}}=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{Bmatrix}k\\i-1\end{Bmatrix} n^{\underline{i}}+\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} in^{\underline{i}}=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \left(\begin{Bmatrix}k\\i-1\end{Bmatrix}+i\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\right) n^{\underline{i}}=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{Bmatrix}k+1\\i\end{Bmatrix} n^{\underline{i}} nk+1=ni=0∑k{ki}ni=i=0∑k{ki}(ni+1+ini)=i=0∑k{ki}ni+1+i=0∑k{ki}ini=i=0∑k+1{ki−1}ni+i=0∑k+1{ki}ini=i=0∑k+1({ki−1}+i{ki})ni=i=0∑k+1{k+1i}ni
∴ n m = ∑ i = 0 m { m i } n i ‾ \therefore n^m=\sum \limits_{i=0}^{m} \begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix} n^{\underline{i}} ∴nm=i=0∑m{mi}ni
② n m ‾ = ∑ i = 0 m [ m i ] n i n^{\overline{m}}=\sum \limits_{i=0}^{m} \begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix} n^i nm=i=0∑m[mi]ni
其中 n m ‾ n^{\overline{m}} nm表示 n n n的 i i i次上升幂，即 n m ‾ = ∏ i = 0 m − 1 ( n + i ) n^{\overline{m}}=\prod \limits_{i=0}^{m-1}(n+i) nm=i=0∏m−1(n+i)
证明：
当 m = 1 m=1 m=1时， ∑ i = 0 m [ m i ] n i = [ 1 1 ] n = n \sum \limits_{i=0}^{m} \begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix} n^i=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} n=n i=0∑m[mi]ni=[11]n=n
假设 m = k m=k m=k时成立
当 m = k + 1 m=k+1 m=k+1时， n k + 1 ‾ = ( n + k ) n k ‾ = n ∑ i = 0 k [ k i ] n i + k ∑ i = 0 k [ k i ] n i = ∑ i = 0 k + 1 [ k i − 1 ] n i + ∑ i = 0 k + 1 k [ k i ] n i = ∑ i = 0 k + 1 ( [ k i − 1 ] + k [ k i ] ) n i = ∑ i = 0 k + 1 [ k + 1 i ] n i n^{\overline{k+1}}=(n+k)n^{\overline{k}}=n\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} n^i+k\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} n^i=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{bmatrix}k\\i-1\end{bmatrix} n^i+\sum \limits_{i=0}^{k+1} k\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} n^i=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \left(\begin{bmatrix}k\\i-1\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\right) n^i=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{bmatrix}k+1\\i\end{bmatrix} n^i nk+1=(n+k)nk=ni=0∑k[ki]ni+ki=0∑k[ki]ni=i=0∑k+1[ki−1]ni+i=0∑k+1k[ki]ni=i=0∑k+1([ki−1]+k[ki])ni=i=0∑k+1[k+1i]ni
∴ n m ‾ = ∑ i = 0 m [ m i ] n i \therefore n^{\overline{m}}=\sum \limits_{i=0}^{m} \begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix} n^i ∴nm=i=0∑m[mi]ni
③ n m ‾ = ∑ i = 0 m [ m i ] ( − 1 ) m − i n i n^{\underline{m}}=\sum \limits_{i=0}^{m} \begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix} (-1)^{m-i} n^i nm=i=0∑m[mi](−1)m−ini
证明：
当 m = 1 m=1 m=1时， ∑ i = 0 m [ m i ] ( − 1 ) m − i n i = [ 1 1 ] n = n \sum \limits_{i=0}^{m} \begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix} (-1)^{m-i} n^i=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} n=n i=0∑m[mi](−1)m−ini=[11]n=n
假设 m = k m=k m=k时成立
当 m = k + 1 m=k+1 m=k+1时， n k + 1 ‾ = ( n − k ) n k ‾ = n ∑ i = 0 k [ k i ] ( − 1 ) k − i n i − k ∑ i = 0 k [ k i ] ( − 1 ) k − i n i = ∑ i = 0 k + 1 [ k i − 1 ] ( − 1 ) k + 1 − i n i + ∑ i = 0 k + 1 k [ k i ] ( − 1 ) k + 1 − i n i = ∑ i = 0 k + 1 ( [ k i − 1 ] + k [ k i ] ) ( − 1 ) k + 1 − i n i = ∑ i = 0 k + 1 [ k + 1 i ] ( − 1 ) k + 1 − i n i n^{\underline{k+1}}=(n-k)n^{\underline{k}}=n\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} (-1)^{k-i} n^i-k\sum \limits_{i=0}^{k} \begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} (-1)^{k-i} n^i=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{bmatrix}k\\i-1\end{bmatrix} (-1)^{k+1-i} n^i+\sum \limits_{i=0}^{k+1} k\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} (-1)^{k+1-i} n^i=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \left(\begin{bmatrix}k\\i-1\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\right) (-1)^{k+1-i} n^i=\sum \limits_{i=0}^{k+1} \begin{bmatrix}k+1\\i\end{bmatrix} (-1)^{k+1-i} n^i nk+1=(n−k)nk=ni=0∑k[ki](−1)k−ini−ki=0∑k[ki](−1)k−ini=i=0∑k+1[ki−1](−1)k+1−ini+i=0∑k+1k[ki](−1)k+1−ini=i=0∑k+1([ki−1]+k[ki])(−1)k+1−ini=i=0∑k+1[k+1i](−1)k+1−ini
∴ n m ‾ = ∑ i = 0 m [ m i ] ( − 1 ) m − i n i \therefore n^{\underline{m}}=\sum \limits_{i=0}^{m} \begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix} (-1)^{m-i} n^i ∴nm=i=0∑m[mi](−1)m−ini

斯特林反演

若 f ( n ) = ∑ i = 1 n { n i } g ( i ) f(n)=\sum \limits_{i=1}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}g(i) f(n)=i=1∑n{ni}g(i)，则 g ( n ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i [ n i ] f ( i ) g(n)=\sum \limits_{i=1}^n(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}f(i) g(n)=i=1∑n(−1)n−i[ni]f(i)
这个 − 1 -1 −1的次数怎么这么熟？
是的，这就是上面的③式中 − 1 -1 −1次数
可以用斯特林反演说明①式和③式是等价的
但是这玩意儿好像没啥用，至少我没用过我就没做过几道斯特林数的题目，所以我也不会证……
ps：定义部分从百度百科上的内容删改而成

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