多元(二元）函数极限的存在性问题
高等数学课本对多元函数极限的描述，用描述如下：
设二元函数
的定义域为D,是Ｄ的聚点，如果存在常数A,对于任意给定的正数
，总存在正数
,使得当点
时，都有
成立，那么就称常数A为函数f(x,y)当的极限，记作
定义就是这个样子的，这里需要注意的是，所谓的二重极限存在，是指以任何方式趋近于
时，f(x,y)都无限接近于A,因此，如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于
时，即使f(x,y)无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在，但是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于
时，f(x,y)趋于不同的值，那么就可以断定这个函数的极限不存在，下面用例子来说明这种情况：
函数
显然，当点沿x轴趋近于点(0,0)时，
当点沿y轴趋近于点(0,0)时，
虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式（沿x轴或者y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等，但是，并不存在，这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋近于点(0,0)时，有
显然，它是随着k的值不同而改变的．
我喜欢用图说明问题，我们用geogebra绘制出这个函数的图像,图中黑色直线和z轴的交点红色点Ｂ，就是当沿着y=kx直线趋近于原点时候函数的极限值，可以看到这个极限值在(-0.5,0.5)之间上下变化，也就是说极限不是固定值，原函数没有极限．
B点的变化曲线如下图所示：
关于这幅图像，另外一个有意思的事情是，它竟然也是一个直纹面，三维视图中的黑颜色直线可以看成直纹面的母线，前面已经介绍过小蛮腰了．直纹面有无数种．你拿着一个棍子在空中胡乱比划，形成的三维面也是直纹面．
高观点下的初等数学中对这个问题有讨论，这本书中提到，如果f(x,y)满足下面两个条件，他在点就是连续的：
1.在有唯一的值。
2.已给无论多小的正数，总可以找到一个异于零的
，使得对于一切满足
都有：
书中同样分析了上面的函数，只不过书中将函数多乘了系数2：
这个函数在一切的(x,y)连续，只有在(0,0)是例外，因为x=0,y=0时，分子，分母都为0，那么能否界定函数在(0,0)的值，使它在那里也保持连续？
引入极坐标
则当时，函数值是：
也就是说，函数值只与(x,y)坐标与坐标平面的夹角有关，而与原点的远近无关。所以，当x,y沿着不同的y=kx接近坐标原点时，最终的极限值只和y=kx的斜率有关，而当r=0时，
仍然是多值的，无法确定一个值满足函数连续性的定义，所以不可能为(0,0)点找一个值，使函数连续。
函数在(0,0)的值并不能唯一确定，它可以是-1到+1的任何值，沿着原点的每条路径它却是连续的。
假若令函数在(0,0)有唯一的值，比如0，则连续函数定义中只有沿着y=0的路径接近原点才连续，不能保证沿着每条路径都连续。
函数图像是一个三阶直纹面，在力学中称为“圆柱性面”如下图所示，它的母线都平行于x-y平面并和z轴相交。
结束！
多元(二元）函数极限的存在性问题相关推荐
- 二元函数可导与可微的关系_视频教学：期末试卷解析之多元函数基本概念及相互关系讨论...
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! 今天视频对应的考题是两个选择题,整套试卷内容参见推荐阅读列表的第一篇推文.视频探讨的内容包括: 1.极限存在性判定的极 ...
- 二元函数泰勒公式例题_高等数学入门——二元函数可微性的判断方法总结
系列简介:这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释.在内容选取上,以国内的经典教材"同济版高等数学"为蓝本,并对具体内容 ...
- [高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)
原文: https://zhaokaifeng.com/?p=1935 题目 下列命题中正确的是() ( A ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqsla ...
- 使用matlab定义函数极限,MATLAB在函数极限定义教学中的应用
龙源期刊网 http://www.doczj.com/doc/863ba24b195f312b3169a5c0.html MATLAB在函数极限定义教学中的应用 作者:赵志芳 来源:<外语学法教 ...
- 关于函数或者数列极限保号性的直觉理解(图解)
关于函数或者数列极限保号性的直觉理解(图解) 欢迎大家评论区指出问题或提出更严谨.有说服力的证明 首先,贴一条很有感触的话: "保号性"的说法,是汉语微积分教学中,穿凿附会.虚张声 ...
- 探讨一下函数极限的局部保号性
起因:同济教材中对于函数极限的局部保号性有这样一个推论: 如果在的某去心邻域内(或),且,那么(或) 相当于说明了函数极限的局部保号性与极限值符号一致是充要条件 对于这个推论大多数采用了反证法,但通过 ...
- 006 函数极限性质之保号性及局部有界性
006 函数极限性质之保号性及局部有界性
- 二元函数对xy同时求导_更新丨10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）...
学过高数的都知道,极限在高数的应用频率是非常高的,而且是很多高数知识的基础,求导.变限积分求极限.多重积分求极限等等均会用到 虽然是基础,但是很多人在刚学习的时候就会直接被理论弄懵圈,因此就无法继续再 ...
- 二元函数对xy同时求导_复变函数（1）——解析与保角，导数的几何意义，柯西-黎曼方程...
学习阶段:大学数学. 前置知识:复数的三角形式.棣莫弗定理.多元微分学. 1. 复变函数 1.1 复变函数的定义 说地简单点,复变函数就是自变量和应变量都是复数的函数.其定义域和值域均 ,是实函数的扩 ...
最新文章
- 刷新视频超分新记录28.41dB！一种全局视频超分方案OVSR
- asp.net 验证码
- 祝贺！屠呦呦再获国际大奖！一文读懂：神药青蒿素那些我们不知道的事
- 从小屏到大屏，触控技术的现在与未来
- [html] 如何设置打印尺寸？
- python编程项目中遇到的困难_python开发中遇到的常见问题，你们又是如何解决的呢？如何快速的学好python，有没有什么小技巧？...
- Hibernate Session merge，update，save，saveOrUpdate，persist
- vi/vim: 文件浏览和缓冲区浏览
- SpringCloud--Eureka 注册中心原理及其搭建
- java技术可行性分析_java毕业设计管理系统需求分析
- 【采用】社交网络分析与金融反欺诈应用（知识图谱？）
- Matlab UIAxes中添加图例
- Web2.0与Web3.0的区别是什么
- AcWing 723. PUM
- 三种语句可以恢复Oracle数据库误删除数据
- 智能音箱 功放与喇叭选型 参考
- Python实现钉钉/企业微信自动打卡
- -XX:+PrintGCTimeStamps 打印CG发生的时间戳
- C++ 进制转换器：二进制、十进制、十六进制
- 设备树学习（四、内核head.S对uboot传参的处理）