分段Hermite插值

分段线性插值多项式S(x)S(x)S(x)在插值区间[a,b][a,b][a,b]上只能保证连续性，而不光滑。要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite）插值，这里我们考虑在整个[a,b][a,b][a,b]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近f(x)f(x)f(x)。一般的将带有导数的插值多项式称为Hermite插值多项式。

如果已知函数y=f(x)y = f(x)y=f(x)在节点a=x0<x1<…<xn=ba = x_0<x_1<…<x_n = ba=x0<x1<…<xn=b处的函数的值和导数值：

则在小区间[xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1,xi]上有四个插值条件：

故能构造一个三次多项式H(x)H(x)H(x)，并称为三次Hermite插值多项式。这时在整个[a,b][a,b][a,b]上可以用分段三次Hermite插值多项式来逼近f(x)f(x)f(x)。

其中Hi(x),x∈[xi−1,xi]H_i(x),x\in[x_{i-1},x_i]Hi(x),x∈[xi−1,xi]满足条件：

关于Hi(x)H_i(x)Hi(x)的构造，我们可以通过基函数来进行，这时令：

其中φi−1(x),φi(x),ψi−1(x),ψi(x)\varphi_{i-1}(x),\varphi_{i}(x),\psi_{i-1}(x),\psi_{i}(x)φi−1(x),φi(x),ψi−1(x),ψi(x)均为三次多项式,并称为三次Hermite插值多项式的基函数。对上式两边关于xxx求导，得到

则由插值条件

可以分别给出基函数满足的条件：

下面具体求解基函数φi−1(x),φi(x),ψi−1(x),ψi(x)\varphi_{i-1}(x),\varphi_{i}(x),\psi_{i-1}(x),\psi_{i}(x)φi−1(x),φi(x),ψi−1(x),ψi(x)。由上面的条件的第一列可以得到φi−1(x)\varphi_{i-1}(x)φi−1(x)满足条件：

由上式中的第二、第四个条件可知φi−1(x)\varphi_{i-1}(x)φi−1(x)应该具有形式（φi−1(x)\varphi_{i-1}(x)φi−1(x)是三次多项式）：

这时：

再由（1）式中的第一、第三个条件分别代入（2），（3）式得到：

其中hi=xi−xi−1h_i=x_i-x_{i-1}hi=xi−xi−1。

解此线性方程组得到：

将a、b代入（2）式得到：

类似地有：

因此将得到：

这样，便求出了分段三次Hermite插值多项式：

THE END.
感谢阅读。

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