匈牙利算法 KM算法
匈牙利算法 & KM算法
- 1. 匈牙利算法(Hungarian Algorithm)
- 2. KM 算法(Kuhn-Munkres Algorithm)
Reference:
- 带你入门多目标跟踪(三)匈牙利算法&KM算法
- 算法学习笔记(5):匈牙利算法
匈牙利算法(Hungarian Algorithm)与 KM 算法(Kuhn-Munkres Algorithm)主要用于解决一些与二分图匹配有关的问题,这种问题在解决多目标跟踪中的数据关联时会比较常见。
二分图(Bipartite graph)
是一类特殊的图,它可以被划分为两个部分,每个部分内的点互不相连。下图是典型的二分图:
可以把二分图理解为视频中连续两帧中的所有检测框,第一帧所有检测框的集合称为 UUU,第二帧所有检测框的集合称为 VVV。同一帧的不同检测框不会为同一个目标,所以不需要互相关联,相邻两帧的检测框需要相互联通,最终将相邻两帧的检测框尽量完美地两两匹配起来,而求解这个问题的最优解时就要用到匈牙利算法或者KM算法。
1. 匈牙利算法(Hungarian Algorithm)
匈牙利算法
是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法,并推动了后来的原始对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。此算法之所以被称作匈牙利算法,是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家 Dénes Kőnig 和 Jenő Egerváry 的工作之上创建起来的。
以上图为例,假设左边的四张图是我们在第 NNN 帧检测到的目标 XXX,右边四张图是我们在第 N+1N+1N+1 帧检测到的目标 YYY。红线连起来的图,是算法认为的同一行人可能性较大的目标。由于算法并不是绝对理想的,因此并不一定会保证每张图都有一对一的匹配,事实上会有一对二甚至一对多的、多对多的情况发生。这时该怎么获得最终的一对一结果呢?
- 第一步:
首先给左1进行匹配,发现第一个与其相连的右1还未匹配。将其配对,连上一条蓝线:
- 第二步:
接着匹配左2,发现与其相连的第一个目标右2还未匹配,将其配对:
- 第三步:
接下来是左3,发现最优先的目标右1已经匹配完成了,怎么办呢?
我们给之前右1的匹配对象左1分配另一个对象-----黄色表示这条边被临时拆掉:
可以与左1匹配的第二个目标是右2,但右2也已经有对象了,怎么办呢?我们再给之前右2的匹配对象左2分配另一个对象(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)
此时发现左2还能匹配右3,那之前的问题就迎刃而解了,回溯回去。左2对右3,左1对右2,左3对右1。
所以第三步最后的结果是:
- 第四步:
最后是左4,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给左4腾出来一个匹配对象,只能放弃对左4的匹配,匈牙利算法流程至此结束。蓝线就是我们最后的匹配结果。至此我们找到了这个二分图的一个最大匹配。
最终的结果是我们匹配出了三对目标,由于候选的匹配目标中包含了许多错误的匹配红线(边),所以匹配准确率并不高。可见匈牙利算法对红线连接的准确率要求很高,也就是要求我们运动模型、外观模型等部件必须进行较为精准的预测,或者预设较高的阈值,只将置信度较高的边才送入匈牙利算法进行匹配,这样才能得到较好的结果。
匈牙利算法的流程大家看到了,有一个很明显的问题相信大家也发现了,按这个思路找到的最大匹配往往不是我们心中的最优。匈牙利算法将每个匹配对象的地位视为相同,在这个前提下求解最大匹配。这个和我们研究的多目标跟踪问题有些不合,因为每个匹配对象不可能是同等地位的,总有一个真实目标是我们要找的最佳匹配,而这个真实目标应该拥有更高的权重,在此基础上匹配的结果才能更贴近真实情况。
KM 算法就能比较好地解决这个问题,我们下面来看看 KM 算法。
2. KM 算法(Kuhn-Munkres Algorithm)
KM算法
解决的是带权二分图的最优匹配问题。
还是用上面的图来举例子,这次给每条连接关系加入了权重,也就是我们算法中其他模块给出的置信度分值。
- 第一步
首先对每个顶点赋值,称为顶标,将左边的顶点赋值为与其相连的边的最大权重,右边的顶点赋值为0:
- 第二步
匹配的原则是只与权重大于等于左边分数(顶标)的边进行匹配,若找不到边匹配,对此条路径的所有左边顶点的顶标减d,所有右边顶点的顶标加 ddd。参数 ddd 我们在这里取值为0.1。对于左1,与顶标分值相同的边先标蓝。
然后是左2,与顶标分值相同的边标蓝。
然后是左3,发现右1已经与左1配对。首先想到让左3更换匹配对象,然而根据匹配原则,只有权值大于等于(0.9+0=)0.9的边能满足要求,而此时另一个匹配对象的权值为(0.8+0=)0.8<0.9,因此左3无法换边。这时左1能不能换边呢?对于左1来说,只有权值大于等于(0.8+0=)0.8的边能满足要求,而另一匹配对象的权值为(0.6+0=)0.6<0.8,也无法换边。
此时根据KM算法,应该对所有冲突的边的顶点做加减操作。令左边顶点值减0.1,右边顶点值加0.1,结果如下图所示:
再进行匹配操作,发现左3多了一条可匹配的边,因为此时左3对右2的匹配要求只需权重大于等于0.8+0即可,所以左3与右2匹配!
最后进行左4的匹配。由于左4唯一的匹配对象右3已被左2匹配,发生冲突。进行一轮加减d操作,再匹配,左4还是匹配失败。两轮以后左4期望值降为0,放弃匹配左4。
至此KM算法流程结束,三对目标成功匹配,甚至在左3目标预测不够准确的情况下也进行了正确匹配。可见在引入了权重之后,匹配成功率大大提高。
最后还有一点值得注意,匈牙利算法得到的最大匹配并不是唯一的,预设匹配边、或者匹配顺序不同等,都可能会导致有多种最大匹配情况,所以有一种替代KM算法的想法是,我们只需要用匈牙利算法找到所有的最大匹配,比较每个最大匹配的权重,再选出最大权重的最优匹配即可得到更贴近真实情况的匹配结果。但这种方法时间复杂度较高,会随着目标数越来越多,消耗的时间大大增加,实际使用中并不推荐。
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