【算法笔记】二分图最大权匹配 - KM算法（dfs版O(n4) + bfs版O(n3)）

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匈牙利算法又称为 KM 算法，可以在 O(n3)O(n^3)O(n3) 时间内求出二分图的最大权完美匹配。

考虑到二分图中两个集合中的点并不总是相同，为了能应用 KM 算法解决二分图的最大权匹配，需要先作如下处理：将两个集合中点数比较少的补点，使得两边点数相同，再将不存在的边权重设为 0，这种情况下，问题就转换成求最大权完美匹配问题，从而能应用 KM\tt KMKM 算法求解。

其实就是普通的匈牙利算法求二分图最大匹配的拓展版本

顶标：两边点都有的标记（左 aia_iai右 bjb_jbj）满足 ai+bj≥wi,ja_i+b_j\ge w_{i,j}ai+bj≥wi,j，不唯一。
相等边：ai+bj=wi,ja_i+b_j=w_{i,j}ai+bj=wi,j的边 (i,j)(i,j)(i,j)。
相等子图：相等边构成的子图。
交错树：增广路径形成的树。
KM\tt KMKM 算法核心定理 : 对于某组可行顶标，如果其相等子图存在完美匹配，那么，该匹配就是原二分图的最大权完美匹配。

具体流程：
(1) 分配可行顶标，并对每个节点执行 (2),(3),(4)。
(2) 匈牙利算法找增广。
(3) 找不到增广路（相等子图匹配）就调整顶标。
(4) 重复 (2),(3) 直到找到增广路。

模板题：P6577 【模板】二分图最大权完美匹配

O(n4)O(n^4)O(n4)的DFS\tt DFSDFS版本

/*有些小问题，别人的dfs都能拿50分我的只能拿10分...*/
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;//卡精度
typedef pair<int,int> PII;const int N = 507, M = 5e3 +7, maxn = 1007;
const int mod = 1e9+7;
const ll INF = 1e15+7;ll w[N][N];//边权
ll la[N], lb[N];//左、右部点的顶标
bool va[N], vb[N];//访问标记，是否在交错树中
int match[N];//右部点匹配的左部点（一个只能匹配一个嘛）
int n;
ll delta, upd[N];bool dfs(int x)
{va[x] = 1;//标记访问：x在交错树中for(int y = 1; y <= n; ++ y){if(!vb[y]){//从左部点找右部点(如果不在交错树上)if(la[x] + lb[y] - w[x][y] == 0){//相等子图vb[y] = 1;//标记访问：y在交错树中if(!match[y] || dfs(match[y])){//匈牙利行为match[y] = x;return true;}}}else upd[y] = min(upd[y], la[x] + lb[y] - w[x][y]);//Δ}return false;
}ll KM()
{//左右部点各n个fill(la+1,la+n+1,-INF);//fill(lb+1,lb+n+1,0);for(int i = 1;i <= n; ++ i){for(int j = 1; j <= n; ++ j)//先分配左部点la[i] = max(la[i], w[i][j]);//取它能接触到的最大值以保证满足ai+bj>=wij}for(int i = 1; i <= n; ++ i){while(true){//直到该左部点找到匹配//memset(va, 0, sizeof va);//memset(vb, 0, sizeof vb);fill(va+1,va+n+1,0);fill(vb+1,vb+n+1,0);//for(int j = 1; j <= n; ++ j)//    upd[j] = INF;fill(upd+1,upd+n+1,INF);if(dfs(i)) break;//找到增广路了delta = INF;for(int j = 1; j <= n; ++ j)if(!vb[j])delta = min(delta, upd[j]);//找最小的Δfor(int j = 1; j <= n; ++ j){//修改顶标//把所有在交错树上的左右部点都左加右减 Δif(va[j])la[j] -= delta;if(vb[j])lb[j] += delta;}}}ll ans = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i)ans += w[match[i]][i];//答案加上所有完备匹配边的权值//注意二分图匹配是从左部点到右部点有权值//match数组存的是所有右部点匹配的左部点的编号//所以我们ans要加上w[match[i]][i]从左往右return ans;
}
int m;
int main()
{//memset(w, 0xcf, sizeof w);scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; ++ i)for(int j = 1; j <= n; ++ j)w[i][j] = -INF;for(int i = 1 ;i <= m; ++ i){int x, y;ll z;scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);w[x][y] = max(w[x][y], z);//最大匹配嘛}printf("%lld\n", KM());for(int i = 1; i <= n; ++ i)printf("%d ", match[i]);puts("");return 0;
}

O(n3)O(n^3)O(n3)的BFS\tt BFSBFS迭代版本

把 DFS\tt DFSDFS 换成 BFS\tt BFSBFS。本质上没有什么区别
但是每个左边的点只会进队、搜索一次。
用p 数组记录的是增广交错树。

迭代版本的BFS\tt BFSBFS ，不需要 queue\tt queuequeue。

/*好难懂啊，还是抄板子吧*/
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;//卡精度
typedef pair<int,int> PII;const int N = 507, M = 5e3 +7, maxn = 1007;
const int mod = 1e9+7;
const ll INF = 1e15+7;ll w[N][N];//边权
ll la[N], lb[N];//左、右部点的顶标
bool va[N], vb[N];//访问标记，是否在交错树中
int match[N];//右部点匹配的左部点（一个只能匹配一个嘛）
int n;
ll delta, upd[N];
int p[N];
ll c[N];void bfs(int x)
{int a, y = 0, y1 = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i)p[i] = 0, c[i] = INF;match[y] = x;do{a = match[y], delta = INF, vb[y] = true;for(int b = 1; b <= n; ++ b){if(!vb[b]){if(c[b] > la[a] + lb[b] - w[a][b])c[b] = la[a] + lb[b] - w[a][b], p[b] = y;if(c[b] < delta)//Δ还是取最小的delta = c[b], y1 = b;}}for(int b = 0; b <= n; ++ b)if(vb[b])la[match[b]] -= delta, lb[b] += delta;else c[b] -= delta;y = y1;}while(match[y]);while(y)match[y] = match[p[y]], y = p[y];
}ll KM()
{for(int i = 1; i <= n; ++ i)match[i] = la[i] = lb[i] = 0;for(int i = 1; i <= n; ++ i){for(int j = 1; j <= n; ++ j)vb[j] = false;bfs(i);}ll res = 0;for(int y = 1; y <= n; ++ y)res += w[match[y]][y];return res;
}int m;
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; ++ i)for(int j = 1; j <= n; ++ j)w[i][j] = -INF;for(int i = 1 ;i <= m; ++ i){int x, y;ll z;scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);w[x][y] = max(w[x][y], z);//最大匹配嘛}printf("%lld\n", KM());for(int i = 1; i <= n; ++ i)printf("%d ", match[i]);puts("");return 0;
}

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