前言

线性代数中对于一段数字序列的排列情况有这样一个定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。(摘自百度百科)

对于逆序数通俗的理解：对于序列中每个位置的的数，其之前比他的值大的个数之和，或者在其之后比他的值小的个数之和，如此称为逆序数。

实现

实现手段：线段树、树状数组、离散化、归并排序、枚举

我们容易根据逆序数的理解写出O(n^2)的模拟算法，是一个普通冒泡排序类似物：

int ans = 0;  //逆序数个数
int num[maxn];
for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = n - i; j > 0; j--) {if (num[j + 1] < num[j]) {swap(num[j + 1], num[j]);ans++;    }}
}

如果当一段数字集中在某个范围中，还可以利用hash的特性，复杂度O(n*num(max))，但这个仍然是个暴力算法:

#include <iostream>
using namespace std;
int  a[100005];//存储有多少比它大的数字在它之前
int main()
{int n, m, i, j, k;cin >> n;long long int sum = 0;for (i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &m);sum = sum + a[m];// 有多少比它大的数字在他之前，就要加上多少组for (j = 0; j<m; j++)//在它之前的数字都+1{a[j]++;}}cout << sum << endl;
}

上面那步的思想其实就是每次将数字压入数据集时，查询比当前数字排名来得大得数字数量，这个数字就是当前下标数字得逆序数。但是这个写法不足地方有两点：1，数据分散时空间复杂度高；2，每次都要执行一个O(num)大小的前缀操作。我们这是就可以利用线段树，树状数组的树形结构将前缀操作以及查询操作都均摊到O(logn)级别，从而提高效率。

细节

关于sum的含义是求得1~idx下标得前缀和，在这里根据方法2得思路就是rank <= idx的前缀数量，这里就要利用到一点容斥的思想：我们的目标是考虑当前有多少个比当前数排名大的数，当前全集为i,rank <= idx的数量为sum(idx)，则当前 rank > idx 的数量为i-sum(idx)。其实c维护的就是rank的数量。举例：{7,4,3,8,6}

目前数据集	目前下标得到的逆序数	说明
{ }	初始化	逆序数为0，数据集为空
{7}	0	加入7，排名为4，逆序数为0，前面没有排名比他高的数字
{7，4}	1	加入4，排名为2，逆序数为1，前面排名有1个比他高的数字，分别为7
{7，4，3}	2	加入3，排名为1，逆序数为2，前面排名有2个比他高的数字，分别为7，4
{7，4，3，8}	0	加入8，排名为5，逆序数为0，前面排名有0个比他高的数字
{7，4，3，8，6}	2	加入6，排名为3，逆序数为2，前面排名有2个比他高的数字，分别为7，8

观察C数组的变化

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,c[100010];
int lowbit(int x)
{return x&(-x);
}
void add(int k,int num)
{while(k<=n){c[k]+=num;k+=lowbit(k);}
}int query(int k)
{int sum=0;while(k){sum+=c[k];k-=lowbit(k);}return sum;
}
typedef struct nodee
{int x,i;
}node;
node maze[100010];
bool cmp(node u,node v)
{if(u.x==v.x)return u.i>v.i;return u.x<v.x;
}
int b[100010];int main(void)
{int i,j,x,y;while(~scanf("%d",&n)){ll sum = 0;memset(c,0,sizeof(c));for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&maze[i].x);maze[i].i = i;}sort(maze+1,maze+1+n,cmp);int cnt = 1;for(i=1;i<=n;i++){if(i!=1&&maze[i].x!=maze[i-1].x)cnt++;b[maze[i].i] = cnt;}for(i=1;i<=n;i++){add(b[i],1);ll tmp = (i-query(b[i]));sum += tmp;cout << "\n逆序数 = " << tmp << "  排名 = " << b[i] << '\n';cout << "C数组：\n";for (int j = 1; j <= n; j++) {cout << c[j] << " ";}}printf("\n\n排列的逆序数为 = %lld\n",sum);}return 0;
}

对于逆序数还有归并排序的求法，注意归并排序是稳定的排序算法，写法有细节要注意。

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;
const int maxn = (int)1e5+5;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef long double ldb;int val[maxn],tmp[maxn];
ll cnt;void Merge (int l, int m, int r) {int i = l;int j = m + 1;int k = l;//归并排序为稳定排序，稳定的关键是mid后面那部分只有在小于前面的时候才往前提，相等不提!!!while (i <= m && j <= r) {if (val[i] > val[j]) {cnt += j-k; // 每当后段的数组元素提前时，记录提前的距离tmp[k++] = val[j++];}else {tmp[k++] = val[i++];}}while (i <= m) {tmp[k++] = val[i++];}while (j <= r) {tmp[k++] = val[j++];}for (int i = l; i <= r; i++) {val[i] = tmp[i];}
}void MergeSort(int l, int r) {if (l < r) {int mid = l + ((r - l) >> 1);MergeSort(l, mid);MergeSort(mid + 1, r);Merge(l, mid, r);}return ;
}int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> val[i];}cnt = 0;MergeSort(1, n);cout << cnt << '\n';return 0;
}

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NowCoder
PKU2299
HDU1394

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