OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花

这一篇关于分形图像，当然只是入门。

分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。

之前有做过一个镂垫的程序,今天要做的是康托集，谢尔宾斯基地毯和Koch雪花。

源码下载

一维康托集

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。首先从区间[0, 1]中去掉中间的三分之一(1/3, 2/3)，留下两条线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。把这个过程一直进行下去。

看程序实现：

void cantuo1(GLfloat *a, GLfloat *b)
{glBegin(GL_LINES);glVertex3fv(a);glVertex3fv(b);glEnd();
}void divide_cantuo1(GLfloat *a, GLfloat *b, int m)
{cantuo1(a,b);GLfloat mid[2][3];if(m>0){/* compute 1/3points */mid[0][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;mid[0][1]=(a[1]+b[1])/2.0+0.5;mid[0][2]=(a[2]+b[2])/2.0;mid[1][0]=b[0]-(b[0]-a[0])/3.0;mid[1][1]=(a[1]+b[1])/2.0+0.5;mid[1][2]=(a[2]+b[2])/2.0;a[1]+=0.5;b[1]+=0.5;/* create 2 part  by subdivision */divide_cantuo1(mid[1],b, m-1);divide_cantuo1(a,mid[0], m-1);}
}

divide_cantuo1中，首先将ab直线绘制出来，然后计算出1/3和2/3处的点坐标（y方向要移动0.5个单位），然后在分别绘制起点到1/3处和2/3处到终点的曲线。

cantuo1就是画线函数。

渲染出来看一下：

void renderGL()
{GLfloat a[2][3]={{-3.0, 0.0, 0.0},{3.0, 0, 0}};// Clear the color and depth buffers.glClear( GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT );// We don't want to modify the projection matrix. */glMatrixMode( GL_MODELVIEW );glLoadIdentity( );// Move down the z-axis.glTranslatef( 0.0, -2.0, -5.0 );glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);  /* clear the window */glLineWidth(4.0);divide_cantuo1(a[0],a[1],5);SDL_GL_SwapBuffers( );
}

最后的效果是这样：

谢尔宾斯基地毯

谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。

看代码：

void cantuo2(GLfloat *a, GLfloat *b,GLfloat *c,GLfloat *d )
{static int i=0;glBegin(GL_QUADS);glColor3fv(colors[i++%4]);glVertex3fv(a);glVertex3fv(b);glVertex3fv(c);glVertex3fv(d);glEnd();
}void divide_cantuo2(GLfloat *a, GLfloat *b,GLfloat *c,GLfloat *d,int m)
{GLfloat mid[12][3];if(m>0){// compute 12 pointsmid[0][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;mid[0][1]=a[1]+(b[1]-a[1])/3.0;mid[0][2]=0.0;mid[1][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;mid[1][1]=a[1]+2.0*(b[1]-a[1])/3.0;mid[1][2]=0.0;mid[2][0]=d[0]+1.0*(a[0]-d[0])/3.0;mid[2][1]=d[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;mid[2][2]=0.0;mid[3][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;mid[3][1]=d[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;mid[3][2]=0.0;mid[4][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;mid[4][1]=d[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;mid[4][2]=0.0;mid[5][0]=c[0]+2.0*(b[0]-c[0])/3.0;mid[5][1]=c[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;mid[5][2]=0.0;mid[6][0]=d[0]+(a[0]-d[0])/3.0;mid[6][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;mid[6][2]=0.0;mid[7][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;mid[7][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;mid[7][2]=0.0;mid[8][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;mid[8][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;mid[8][2]=0.0;mid[9][0]=c[0]+2.0*(b[0]-c[0])/3.0;mid[9][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;mid[9][2]=0.0;mid[10][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;mid[10][1]=d[1]+(c[1]-d[1])/3.0;mid[10][2]=0.0;mid[11][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;mid[11][1]=d[1]+2.0*(c[1]-d[1])/3.0;mid[11][2]=0.0;/* create 9 part  by subdivision */divide_cantuo2(a,mid[0],mid[3],mid[2], m-1);divide_cantuo2(mid[0],mid[1],mid[4],mid[3],m-1);divide_cantuo2(mid[1],b,mid[5],mid[4],m-1);divide_cantuo2(mid[2],mid[3],mid[7],mid[6],m-1);//divide_cantuo2(mid[3],mid[4],mid[8],mid[7],m-1);divide_cantuo2(mid[4],mid[5],mid[9],mid[8],m-1);divide_cantuo2(mid[6],mid[7],mid[10],d,m-1);divide_cantuo2(mid[7],mid[8],mid[11],mid[10],m-1);divide_cantuo2(mid[8],mid[9],c,mid[11],m-1);printf("m:%d\n",m);}elsecantuo2(a,b,c,d);
}

这次divide_cantuo2函数需要找的是12个点，建议在纸上面画一下。

cantuo2就是画矩形。

渲染一下：

void renderGL()
{GLfloat a[4][3]={{-3.0, 3.0, 0.0},{3.0, 3.0, 0},{3.0, -3.0, 0.0},{-3.0, -3.0, 0}};// Clear the color and depth buffers.glClear( GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT );// We don't want to modify the projection matrix. */glMatrixMode( GL_MODELVIEW );glLoadIdentity( );// Move down the z-axis.glTranslatef( 0.0, 0.0, -6.0 );glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);  /* clear the window */divide_cantuo2(a[0],a[1],a[2],a[3],2);SDL_GL_SwapBuffers( );
}

当然，可以改变迭代次数和绘制的颜色。

Koch雪花

给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：
将线段分成三等份（AC,CD,DB）
以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC
将线段CD移去
分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。。每条科赫曲线的长度是无限大，它是连续而无处可微的曲线。

代码实现：

void Koch(GLfloat *a, GLfloat *b)
{static int i=0;glBegin(GL_LINES);glColor3fv(colors[i++%4]);glVertex3fv(a);glVertex3fv(b);glEnd();
}void divideKoch(GLfloat *a, GLfloat *b,int m)
{float length= sqrt(pow(a[0] - b[0],2) + pow(a[1] - b[1],2))/3;printf("length:%f\n",length);GLfloat mid[3][3];if(m>0){// compute 3 pointsmid[0][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;mid[0][1]=a[1]+(b[1]-a[1])/3.0;mid[0][2]=0.0;mid[1][0]=b[0]-(b[0]-a[0])/3.0;mid[1][1]=b[1]-(b[1]-a[1])/3.0;mid[1][2]=0.0;double alpha = 0.0;if (b[1]>= a[1]){alpha = atan((double) (b[1]-a[1]) / (b[0]-a[0]));if (b[0]>a[0]){mid[2][0] = mid[0][0] + length * cos(alpha + PI / 3);mid[2][1] = mid[0][1] + length  * sin(alpha + PI / 3);}else{mid[2][0] = mid[0][0] - length * cos(alpha + PI / 3);mid[2][1] = mid[0][1] - length * sin(alpha + PI / 3);}}else{alpha = atan((double) (a[1] - b[1]) / (b[0] - a[0]) );if (b[0]>a[0]){mid[2][0] = mid[1][0] - length * cos(alpha + PI / 3);mid[2][1] = mid[1][1] + length * sin(alpha + PI / 3);}else{mid[2][0] = mid[1][0] + length * cos(alpha + PI / 3);mid[2][1] = mid[1][1] - length * sin(alpha + PI / 3);}}/* create 9 part  by subdivision */divideKoch(a,mid[0], m-1);divideKoch(mid[0],mid[2],m-1);divideKoch(mid[2],mid[1],m-1);divideKoch(mid[1],b,m-1);printf("m:%d\n",m);}elseKoch(a,b);
}

divideKoch只是对一条直线进行分形。思路就是找到线的1/3，2/3处点的坐标，还有中间生成的等边三角形的一个顶点，然后对生成的每一条边都进行迭代。

渲染一个雪花：

void renderGL()
{//Define a triangle in spaceGLfloat a[3][3]={{-3.0, 0.0, 0.0},{3.0, 0.0, 0},{0.0, 5.196, 0.0}};// Clear the color and depth buffers.glClear( GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT );// We don't want to modify the projection matrix. */glMatrixMode( GL_MODELVIEW );glLoadIdentity( );// Move down the z-axis.glTranslatef( 0.0, -2.0, -9.0 );glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);  /* clear the window *///Koch(a[0],a[1]);divideKoch(a[1],a[0],6);divideKoch(a[2],a[1],6);divideKoch(a[0],a[2],6);SDL_GL_SwapBuffers( );
}

结果：

关于分形，这里只是一个很小很小的开始，还有很多的分形图像比如门格海绵，分形地形，分形云彩等等。可以参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%BD%A2

OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花相关推荐

陈斌老师《数据结构与算法Python版》第五周作业——ASCII谢尔宾斯基地毯
陈斌老师<数据结构与算法Python版>第五周作业--ASCII谢尔宾斯基地毯题目思路程序如下总结题目谢尔宾斯基地毯是形如上图的正方形分形图案,每个地毯可分为等大小的9份,其中 ...
Java学习日记：UI篇（6）--谢尔宾斯基地毯图
Java学习日记:UI篇(6)–谢尔宾斯基地毯图引言:谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形,谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似,不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构 ...
python数据结构与算法40题_Python数据结构与算法40：递归编程练习题3：ASCII谢尔宾斯基地毯...
注:本文如涉及到代码,均经过Python 3.7实际运行检验,保证其严谨性. 本文阅读时间约为7分钟. 递归编程练习题3:ASCII谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯是形如上图的正方形分形 ...
python与分形0009 - 谢尔宾斯基地毯
分形介绍分形是一个悖论. 它惊人的简单,却又无限的复杂. 它很新,却又比尘埃更古老. 分形是什么?它们是从哪里来的?我们为什么要在乎? 20世纪非传统的数学家Benoit Mandelbrot在19 ...
Java面向对象编程：利用递归思想绘制“谢尔宾斯基地毯”和“谢尔宾斯基三角形”
1.递归:在方法中调用本方法. 2.递归调用会无限循环下去,因此方法体中必须有结束方法的条件.返回值为void时通常写为: if (条件) {return; } 下面使用递归绘制"谢尔宾斯基 ...
画完三角形再画谢尔宾斯基地毯
照样废话不说,看代码看注释 import java.awt.Color; import java.awt.Dimension; import java.awt.Graphics; import jav ...
按钮动作监听器和鼠标监听器的同时实现，在画图板上画出三角形，射线，曲笔，谢尔宾斯基三角形，谢尔宾斯基地毯Random类的实现，数组的实现，Thread.sleep的实现
按钮动作监听器和鼠标监听器的实现实例化实现监听器的类 DrawListener dl = new DrawListener();// 在界面上添加鼠标监听器对象(鼠标监听器的对象可以是界面和按钮 ...
谢尔宾斯基地毯的讲解
谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形,谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似,不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造,而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造.谢尔 ...
Python实验舱谢尔宾斯基地毯绘制教程
谢尔宾斯基地毯,和谢尔宾斯基三角形相似,下图就是谢尔宾斯基地毯一,起始代码 p.width(3) p.speed(10) import turtle n=int(input()) base=int( ...

OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花

OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花相关推荐

最新文章

热门文章

OpenGL进阶(七)-康托尔集 谢尔宾斯基地毯 Koch雪花

OpenGL进阶(七)-康托尔集 谢尔宾斯基地毯 Koch雪花相关推荐

最新文章

热门文章

OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花

OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花相关推荐