从 0.99999... = 1 到芝诺悖论

1. 0.99999… = 1

19=0.11111....1=9⋅19=0.99999....

\begin{array}{l} \frac19=0.11111....\\ 1=9\cdot \frac19=0.99999.... \end{array}

再从数学分析的角度，认识 0.9 的 9 循环等于1，《数学分析》关于等于的通俗定义如下，对于任意的无穷小量 ϵ\epsilon：

|A−B|<ϵ

|A-B|
则认为 A=BA=B，显然对于任意的 ϵ\epsilon，总可以找到一个更高阶的0.9的9循环，使其是 ϵ10\frac\epsilon {10}。

2. 芝诺悖论

运动是不可能的；

假如从 A 运动到 B，必须走完路程的一半，要走完这一半的路程，必须先走完这一半的一半，，，，

微积分的解释：

12+14+⋯=12(1−12∞)1−12=1

\frac12+\frac14+\cdots=\frac{\frac12\left(1-\frac12^\infty\right)}{1-\frac12}=1

也即，可将一个数表达为无穷多个数的和。

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