从零开始的广度优先搜索(BFS)

问题1：什么是搜索？

搜索，是一个动态的，收集信息，分析信息，保存信息的循环过程。在循环的过程中，我们根据已知的信息，对探索方向进行调整。根据选择探索方向的策略，我们将搜索大致划分为“广度优先搜索”（Breadth-First Search，简称BFS）和“深度优先搜索”（Depth-First Search，简称DFS），而本文主要介绍关于广度优先搜索（BFS）的相关知识和刷题总结。

问题2：什么是广度优先搜索？

广度优先搜索，是搜索的一种策略，我们从某一个位置出发，仅向当前所能到达的位置迈进，之后我们再从这些可以到达的位置出发，继续向下一个能到达的位置迈进。这样“由一个点向周围一圈一圈地扩散搜索”的过程，宛如一颗石头砸入一片平静的湖水，激起一圈一圈向外扩散的波浪一般，波浪所及之处，就是我们到达之处，因此得名“广度”。生活当中，我们也经常能“应用”广度优先搜索。比如我们想要找到某个人，必定先询问我们周围的人是否有认识ta的人存在，然后周围的人再继续问他们周围的人是否有认识ta的人存在…这样从身边开始一圈一圈向外扩散地寻找答案，正是广度优先搜索。

更为书面地讲，广度优先搜索的过程，就是判断哪些位置可以迈进，并记录下来作为下次出发的候选位置，并在此过程中判断是否找到了答案的过程。

问题3：为什么需要广度优先搜索？

我们来想象一个场景：我们想找一个人，且除了问朋友没有别的手段（排除查户口，查社交账号，查监控摄像头等手段），如何在最短的时间内找到ta呢？答案是：我先问一圈自己的朋友，看看有没有认识这个人的，如果没有，那就拜托我的朋友们再去问问他们的朋友，并且我会告诉我的朋友我已经问过哪些人了，这样我的朋友们就不会再彼此询问浪费时间了。人多力量大，几轮询问下来，很快我们就能知道结果，要么是找到了这个人，要么就是大家都不认识这个人。这样的搜索方式，肯定比我一个接一个朋友的“击鼓传花”式的寻找要快的多。而这，就是广度优先搜索的优势，它能从一个点开始以最快的速度向外扩散，且到达的区域会越来越广，获得的信息量也越来越多，就更容易找到问题的答案。

书面地讲，广度优先搜索解决的是“无权图寻找中最短路径”问题。所谓无权图，即边与边之间没有长短的区别，只包含两个点之间是否相连的信息的图。因为搜索策略的特性，只有我们到达了距离起点为d的位置，才能到达距离起点为d+1的位置，而d+1一定是距离d最近的位置。根据“两点之间，线段最短”，所有距离最短的线段组合起来，就是某两点之间的最短路径，所以BFS很适合解决一些“最值/极值”问题，比如：最小距离，最大距离，最少操作数等。

问题4：如何实现广度优先搜索？

我们再回想上面说的“最少询问圈数内找到人”的过程（所谓圈数，就是间接询问的次数，我们询问自己身边的朋友统一算一圈，朋友问他们身边的朋友算第二圈，以此类推）：

首先，我们要问一圈自己的朋友，因此，我们需要一个“笔记本”来记录我们都问过谁了；
其次，我们需要让朋友们去问他们的朋友，如果我们把自己的朋友和他们的朋友都记在同一个“笔记本”里，难免会忘记谁是我们直接询问的，谁是朋友帮我们询问的。当然了，以人类的智慧，这种事情还不至于记不住，大不了在名字旁边写个标记也行，但计算机毕竟没有智力，只能处理我们给它的信息，因此，我们需要想办法把我们自己询问的，和朋友询问的，以及之后朋友的朋友询问的…区分开。

对于第一个需求，我们可以使用一个哈希表或者数组，来记录谁被问过，谁没被问过。

对于第二个需求，我们可以用一种数据结构来实现——队列。

现实生活中的队列就是一群人排成一排，然后最前头的人优先办理业务，结束后离开，下一个最前头的人接着办业务。而算法中的队列也是如此，它只能从末尾添加数据，从队首取出数据。

我们将自己的朋友加入队列，并记录一个人数size，我们每次都从队列的最前端拉出一个人询问ta知不知道我们要找的人，此时队列里少了一个人，因此size减1。如果被我们拉出来的这个人知道我们要找的人在哪儿，那就停止搜索；如果ta不知道，那我们就让ta去询问ta的朋友们，并把ta的朋友们加入队列的末尾（注意，这里我们会告诉ta，我们已经问过谁了，所以如果ta的朋友中那些已经被问过的人将不被加入队列）。一直重复这个过程，直至size变成0。当size变成0，意味着我们直接询问的朋友们已经都检查光了，剩下的都是朋友帮忙询问的，因此我们询问的圈数+1。循环搜索，直到我们找到那个要找的人，或者没有更多的可以询问的朋友为止。需要注意的是，在我们将某个人加入队列时，一定要立刻把ta的名字记录到笔记中，避免其他人也是ta的好友，导致将ta反复加入队列。

伪代码实现：

unordered_set<int> hash; //用来记录谁问过谁没问过的笔记本（哈希表）
queue<int> q; //用来保存接下来需要询问的人的队列
q.push(me); //将我自己添加到队列中，因为需要从我开始向身边询问
hash.insert(me); //将我自己添加到笔记本中，证明我自己已经问过了，让朋友的朋友们不要跑来问我
int round = 0; //圈数
while(!q.empty()){ //当队列中还有人可以询问的时候，继续询问int size = q.size(); //当前这一轮需要询问的人数while(size--){auto person = q.front(); //从队列开头拉出一个人q.pop(); //队列少了一个人if(person==target) return round; //如果这个人就是我们要找的目标，则返回圈数for(auto& friend: person.friends){ //如果不是，则拜托他询问他的朋友们if(hash.find(friend)!=hash.end()) continue; //如果朋友的朋友已经被问过了，则跳过hash.insert(friend); //如果没有被问过，就加入笔记本，这一点非常重要！！！q.push(friend); //同时将那个人加入队列中}}round++; //一轮询问结束，圈数+1
}
return -1；//-1表示我们最终未能找到那个人

5. 广度优先搜索与树

树，是一种数据结构，它包含了一个根节点，以及一些子节点。树，也是一种特殊的图，它是无权无环图。因此，在搜索树的节点时，我们可以使用广度优先搜索来实现搜索过程。因为搜索的过程是一层一层地将节点加入队列，因此在树中的广度优先搜索又被称为“逐层遍历”或“层序遍历”。

代码实现 ( LeetCode102. 二叉树的层序遍历 )：

class Solution {
public: vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) { if(!root) return {}; //节点为空，则直接返回queue<TreeNode*> q; //保存树节点的队列vector<vector<int>> ans; //答案数组q.push(root); //将根节点加入队列while(!q.empty()){ //当队列中还有节点未访问时继续循环int size = q.size(); //当前层的节点数vector<int> temp; //用于保存当前层节点数据的数组while(size--){ TreeNode* current = q.front(); //取出队列最前面的节点temp.push_back(current->val); //将数据加入temp数组//如果这个节点存在左子节点，则将左子节点加入队列if(current->left) q.push(current->left); //如果这个节点存在右子节点，则将右子节点加入队列if(current->right) q.push(current->right); q.pop(); } ans.push_back(temp); //将当前层的数据加入到答案数组中} return ans;
}
};

6. 无权图的广度优先搜索

二维数组就是一个最常见的无权图，我们可以利用广度优先搜索在二维数组构成的无权图中进行搜索。为了实现这个过程，除了广度优先搜索中需要用到的队列和记录是否访问过的数组外，我们还需要明确三个要素：起点，方向，终点：

起点，决定了我们开始扩散的位置
方向，决定了我们扩散的方向和幅度
终点，决定了我们什么时候停止搜索

代码实现 ( LeetCode529. 扫雷游戏 )：

class  Solution {public:int  dx[8] = {0,0,1,-1,1,1,-1,-1}; //X轴的移动幅度int  dy[8] = {1,-1,0,0,1,-1,1,-1}; //Y轴的移动幅度vector<vector<int>> visit; //用于标记哪些点已经访问了的数组vector<vector<char>> updateBoard(vector<vector<char>>&  board, vector<int>&  click) {int m = board.size(); //棋盘的X轴方向长度int n = board[0].size(); //棋盘的Y轴方向长度visit.resize(m,vector<int>(n));queue<pair<int,int>> q; //保存需要访问节点的坐标的队列q.emplace(click[0],click[1]); //将起点加入队列visit[click[0]][click[1]]=1; //将起点标记为已访问while(!q.empty()){ //当还有未检查的点存在于队列时，继续循环int size = q.size(); //当前一轮队列的大小while(size--){auto [x,y] = q.front(); //取队列最前面的元素q.pop();if(board[x][y]=='M'){ //如果这个元素是地雷，则导致爆炸，游戏结束board[x][y]='X';return board;}int count=0; //如果不是地雷，则开始统计周围是否存在地雷for(int i=0;i<8;i++){ //检查当前位置的周围八个方向int nx = x+dx[i];int ny = y+dy[i];if(nx>=0&&nx<m&&ny>=0&&ny<n&&!visit[nx][ny]){ //在可访问范围内+尚未被访问if(board[nx][ny]=='M') count++; //如果是雷，则计数+1}}if(count==0){ //如果计数为零，说明周围没有雷board[x][y]='B'; //按照游戏规则标记for(int i=0;i<8;i++){ //并将周围8个方向的位置加入队列，准备检查int nx = x+dx[i];int ny = y+dy[i];if(nx>=0&&nx<m&&ny>=0&&ny<n&&!visit[nx][ny]){if(board[nx][ny]=='E'){q.emplace(nx,ny);visit[nx][ny]=1;}}}}else  board[x][y] = '0'+count; //如果周围有雷，则按照规则标记}}return board; //最终返回结果
}
};

7. 抽象无权图中的广度优先搜索遍历

当我们遇到一些“最值/极值”问题，又不是用二维数组表示的时候，我们可以尝试将问题转化为求无权图中的最短路径问题。这么说感觉很抽象，但也确实没有办法…我们用下面的两个例子来说明。

例子1： LeetCode279. 完全平方数

题目中，给定一个正整数n，找到若干个完全平方数（比如1，4，9，16，。。。）使得他们的和等于n。求使总和达到n的最少完全平方数个数。比如，n=12，它可以由4，4，4构成，也可以是1，1，1，9构成，但因为4，4，4的完全平方数个数是最少的，因此答案为3。

常见的做法是动态规划，从1开始枚举数字i，然后枚举不超过数字i的完全平方数j，计算和为i的最少完全平方数个数，最后一步一步推到n。在这里，我们提供另一套思路，使用广度优先搜索解决这个问题：

此问题可以抽象成，起点为n，终点为0，需要求从n到0的最短路径（最少的完全平方数个数）的无权图最短路径问题。起点有了，终点有了，那么方向呢？

对于n到0之间的任何一个数字i（节点），它都有不超过 i \sqrt{i} i 个完全平方数可以选择。为了找到最少，我们需要将所有选择都试一遍，因此我们枚举不超过i的完全平方数j，并用i减去j，将剩下的部分保存到队列中，进行之后的搜索（注意，加入队列之前，需要先检查剩余的部分是否已经在队列中，如果已经在队列中则直接跳过，不需要重复加入队列）。而这些操作都统一成“一轮操作”，当到达0时，我们返回操作的轮数，就是到达n的最少完全平方数的个数。

代码实现：

class Solution {public:int numSquares(int n) {queue<int> q; //用于保存计算结果的队列q.push(n); //将起点放入队列int ans = 0; //轮数初始化为0vector<int> visit(n+1); //标记数组visit[n]=1; //标记n为已访问while(!q.empty()){int size = q.size();while(size--){auto p = q.front(); //从队列最前端取出一个数字q.pop();if(p==0) return ans; //如果是0，说明我们已经找到最短路径，直接返回for(int i=1;i*i<=p;i++){ //枚举不大于p的完全平方数if(visit[p-i*i]) continue; //如果已经在队列或已访问，直接跳过q.push(p-i*i); //将剩余部分加入队列visit[p-i*i]=1; //并标记}}ans++; //没有找到0，操作轮数+1}return ans;}
};

例子2：LeetCode365. 水壶问题

有两个容量分别为 x升和 y升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升的水？可以执行的操作有：将一个水壶装满；将一个水壶清空；将一个水壶的水倒入另一个水壶，直至装满或者倒空。

问题分析：首先，当z等于0或者两个壶全装满正好等于z的时候，显然是可以得到恰好z升水的(z=0 or x+y=z)。然后，当两个壶全都装满也无法达到z升水时，显然是不可能得到恰好z升水的(x+y<z)。

当0<z<x+y时，我们可以开始探索，起点为0，终点为z，求从0到z的是否存在路径（广度优先搜索不仅能解决“极值问题”，也可以解决“存在问题”）。

方向：假设当前的总水量为total，我们可以考虑一下几种操作：

也许你会问，那将一个壶里得水倒入另一个壶的操作呢？其实，这个操作是毫无意义的。

代码实现：

class Solution {public:bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {if(z==0||x+y==z) return true;if(z<0||x+y<z) return false;queue<int> q;vector<int> visit(x+y+1,0);q.push(0);while(!q.empty()){int total = q.front();q.pop();if(total+x<=x+y&&!visit[total+x]) q.push(total+x),visit[total+x]=1;if(total+y<=x+y&&!visit[total+y]) q.push(total+y),visit[total+y]=1;if(total-x>=0&&!visit[total-x]) q.push(total-x),visit[total-x]=1;if(total-y>=0&&!visit[total-y]) q.push(total-y),visit[total-y]=1;if(visit[z]) return true;}return false;}
};

8. 拓扑排序与广度优先搜索

拓扑排序（Topological Sorting）是一种应用在“有向无环图”上，给出节点输出先后顺序的算法。拓扑忽略了节点的大小关系，而是给出节点的先后顺序。拓扑排序存在的条件为：

每个节点输出且仅输出一次；
在有向无环图中，如果存在一条从u到v的路径，那么再拓扑排序的结果中，u必须在v之前（未必相邻，但必须保证先后）

拓扑排序可以用来检测有向图是否存在环，以及得到节点的拓扑排序。经典的应用是：课程安排和任务安排。比如，在学习某个课程A之前，我们要求学生必须先掌握另外一些课程B和C的知识。那么拓扑序就是BCA或者CBA，表示先学习B和C，再学习A。假如存在环，比如学习A必须学习B，学习B之前必须学习C，学习C之前必须学习A，那么就不存在拓扑序，因为环的存在，无法确定谁在谁的前面。

而拓扑排序是可以通过广度优先搜索来实现的，步骤如下：

首先需要构建图：包括但不限于使用哈希表，邻接表，邻接矩阵，保存每个节点的连接情况
构建图的过程中，我们需要记录每个节点的入度（和出度，入度最常用，出度不是很常用）。所谓入度，就是指向自己的边的条数，而出度就是从自己指向别的节点的边的边数
检查每个节点的入度，当某个节点入度为0时，说明它没有前驱节点，因此可以作为我们探索的起点，将它加入队列
依照广度优先搜索对队列进行处理，每次从队列中取出一个点，这个点一定是满足拓扑序的，记录到答案中，同时将与它连接的所有的点的入度都减一，因为我们把这个点加入答案后，要将这个点删除，所以需要消除它对其他点的影响。如果有节点在入度减一后入度变成了0，说明它也可以作为下一轮搜索的起点，加入队列
搜索完毕后，检查答案中节点的数量与全图节点数量是否一致，如果一致，说明拓扑序完成；如果不一致，说明存在环

例子：LeetCode310. 最小高度树

题目大意：有一个有n个节点的树，可以任选其中一个节点称为根，求使得树的高度最小的根的标签列表。

问题分析：一个朴素的想法就是，对每个点都遍历一次全树，记录最低高度，然后将达到最低高度的节点都加入答案中。然而节点量为 2 × 1 0 4 2 \times 10^{4} 2×104个，时间复杂度为O(N^2)的算法显然会超时。因此必须要想别的办法

思路：虽然暴力不可取，但是在上面的尝试中，我们会发现一个规律，那就是越是靠近中间的节点，构成的树的高度越低，因此，我们可以反向拓扑，从所有入度为1的节点（也就是边缘节点）开始向内拓扑，并保存每一层的节点到数组中，当遍历结束后，返回最后一层的节点，就是答案

class Solution {public:vector<int> findMinHeightTrees(int n, vector<vector<int>>& edges) {vector<vector<int>> adj(n);vector<int> outdegrees(n);for(auto& e: edges){adj[e[0]].push_back(e[1]);adj[e[1]].push_back(e[0]);outdegrees[e[0]]++;outdegrees[e[1]]++;}queue<int> q;for(int i=0;i<n;i++){if(outdegrees[i]<=1) q.push(i);}vector<int> ans;while(q.size()!=n){int size = q.size();n-=size;while(size--){auto p = q.front();q.pop();for(auto& v: adj[p]){if(outdegrees[v]>1){outdegrees[v]--;if(outdegrees[v]==1){q.push(v);}}}}}while(!q.empty()) ans.push_back(q.front()), q.pop();return ans;}
};

9. 双向BFS

双向BFS可以应用于这样的特殊场景：无向图，且有明确的搜索终点。朴素的BFS是从起点出发，逐层遍历，最后到达终点，而双向BFS则是从起点和终点同时出发，交替逐层遍历。下图中，蓝色部分为单向BFS探索的区域范围，绿色为双向BFS探索的区域范围，显然比蓝色面积小，因此双向BFS的效率比单向BFS更高。

例子：LeetCode127. 单词接龙

题目大意：给定一个起始单词和一个终点单词，以及一本字典，每次可以修改单词的一个位置的字符，但修改后得到的单词也必须是字典中的单词。求最少需要操作几次才能从起始单词变成终点单词。

思路：

单向BFS，我们以起始单词为起点，每次修改它的一个位置，然后检查是否在字典内，如果存在，且之前没有加入过队列，则加入队列，否则继续尝试修改成别的字符或者别的位置。

双向BFS，我们将起始单词和终点单词分别加入两个不同的队列，然后交替做单向BFS，检查修改后的单词是否在字典中以及是否在对方的笔记里出现过，如果出现过，那么就找到了起点到终点的最短路径，返回路径长度即可

代码实现

class Solution {public:int ladderLength(string beginWord, string endWord, vector<string>& wordList) {unordered_set<string> hash;for(auto& w: wordList){hash.insert(w);}if(!hash.count(endWord)) return 0;queue<string> start;queue<string> end;start.push(beginWord);end.push(endWord);unordered_set<string> seen_start;unordered_set<string> seen_end;seen_start.insert(beginWord);seen_end.insert(endWord);int step=0;while(!start.empty()&&!end.empty()){int size = start.size();while(size--){auto p = start.front();start.pop();int n = p.size();for(int i=0;i<n;i++){char ch = p[i];for(int j=0;j<26;j++){if(j==ch-'a') continue;p[i] = 'a'+j;// cout<<p<<endl;if(hash.count(p)){if(seen_end.count(p)) return step+2;if(!seen_start.count(p)){seen_start.insert(p);start.push(p);}}}p[i]=ch;}}step++;size=end.size();while(size--){auto p = end.front();end.pop();int n = p.size();for(int i=0;i<n;i++){char ch = p[i];for(int j=0;j<26;j++){if(j==ch-'a') continue;p[i] = 'a'+j;// cout<<p<<endl;if(hash.count(p)){if(seen_start.count(p)) return step+2;if(!seen_end.count(p)){seen_end.insert(p);end.push(p);}}}p[i]=ch;}}step++;}return 0;}
};

10. 多源BFS

其实我们在拓扑排序中已经接触过多源BFS了，即起点不止一个的单向BFS。在此不再赘述