梯度的旋度为零证明_旋度的逆运算

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预备知识　亥姆霍兹定理定理1
1令

为无散场，即

则

总能表示为另一个矢量场

的旋度，即

且

可以通过以下公式计算：

其中

分别是坐标原点指向三维直角坐标

和

的位置矢量，

，

，体积分

的区域是空间中

不为零的区域，

表示矢量叉乘．

　　该定理在电动力学中有两个重要的应用：一个是证明比奥萨法尔定律满足安培环路定理，另一个是证明磁矢势

必定存在（因为磁场是无散场）．

推论1
　　在定理 1 中，给

加上任意一个无旋场

（满足

），都能使式 2 成立．

　　注意

也可以表示为任意标量函数

的梯度

（引用未完成）．

　　我们可以认为式 3 是旋度运算的逆运算，这可以类比不定积分是求导的逆运算．而无旋场

可以类比不定积分中的任意常数．

定理2
　　令

为无散场，则式 3 得到的

仍然是一个无散场．

　　显然，给

加上一个任意的无散场

后仍然是一个无散场．若需要满足式 2 ，则

必须也是无旋的，即

是调和场．

证明定理 1
　　我们只需要证明式 3 右边第一项求旋度等于

：

其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换．
　　先来证明上式第二项为零：被积函数中的

分量为（

意味着对

求偏导，另外注意

是

的函数）

这里使用了式 3 ．由于

是无散场，最后一项为零．

分量同理．对上式做体积分得（使用散度定理式 13 ）

积分曲面是体积分区域的边界曲面．由于我们假设

只有在体积分内部（不包括边界）不为零，所以该式为零．

　　再来看式 4 右边第一项，有（引用未完成）

代入得

证毕． 证明定理 2
　　使用式 4 ，有

注意

是

的函数而不是

的函数，所以第一项中

．另外由于

，上式恒为零．

1. 参考 [11] 相关章节．

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